排序（平方时间复杂度排序算法）

排序算法	时间复杂度	是否基于比较
冒泡、插入、选择	$O(n^2)$	[y]
快排、归并	$O(n\log n)$	[y]
桶、基数、计数	$O(n)	[x]

开篇问题：插入排序和冒泡排序的时间复杂度相同，都是 $O(n^2)$，在实际软件开发中，为什么我们更倾向于使用插入排序而不是冒泡排序？

如何分析「排序算法」？

算法执行效率

1. 最好、最坏、平均情况的时间复杂度
2. 时间复杂度的系数、低阶、常数——在渐进复杂度相同的情况下，需要比较系数、低阶和常数
3. 比较和交换（移动）的次数——基于比较的排序算法的两种基本操作

算法的内存消耗

是否为原地排序算法（In-place sort algorithm），即算法的空间复杂度是否为 $O(1)$。

排序的稳定性

经过排序算法处理后，值相同的元素，在原序列和排序后序列中的相对位置保持不变，则称该排序算法是稳定的。

待排序的 item 并不是简单的值，而是一个基于对象中的某个 key 进行排序时，排序的稳定性就有意义了。

冒泡排序

• 每次循环都从序列起始位置开始
• 循环中的每个动作，都对比相邻两个元素的大小是否满足偏序要求，若不满足，则交换顺序

分析：

• 原地排序
• 稳定排序（偏序关系是严格的偏序关系，如 < 或 >）
• 时间复杂度
  • 最好 $O(n)$
  • 最坏 $O(n^2)$
  • 平均 $O(n^2)$

冒泡排序的平均时间复杂度非严格分析

• 有序度：序列中满足偏序关系的两两组合的元素对的个数
• 满有序度：排序完成的序列的有序度，它等于 $n(n - 1) / 2$
• 逆序度：序列中不满足偏序关系的亮亮组合的元素对的个数

显然，$\text{逆序度} = \text{满有序度} - \text{有序度}$。

在冒泡排序中，每产生一次「交换」操作，$\text{逆序度}--$。于是，平均情况下，需要 $n(n - 1)/4$ 次交换操作，它已经是 $O(n^2)$ 了。因此，尽管比较操作的数量会大于交换操作的数量，但我们依然能说，冒泡排序的平均时间复杂度是 $O(n^2)$。

分析过程不严格，但足够说明问题。

插入排序

1. 将待排序数列分为已排序区间和未排序区间
2. 取未排序区间的第一个元素
3. 遍历已排序区间，按照偏序关系，寻找合适的位置，插入未排序区间的第一个元素
4. 重复 2 -- 3 直至未排序区间长度为零

分析：

• 原地排序
• 稳定排序（值相同的元素，往后插）
• 时间复杂度
  • 最好 $O(n)$
  • 最坏 $O(n^2)$
  • 平均 $O(n^2)$（乘法法则）

选择排序

1. 将待排序数列分为已排序区间和未排序区间
2. 遍历未排序区间，取未排序区间的最小元素
3. 交换上述最小元素与未排序区间中的第一个元素的位置
4. 重复 2 -- 3 直至未排序区间长度为零

分析：

• 非原地排序
• 非稳定排序
• 时间复杂度
  • 最好 $O(n^2)$
  • 最坏 $O(n^2)$
  • 平均 $O(n^2)$（乘法法则）

开篇问题

• 对同一份未排序序列数据，冒泡排序和插入排序所需的交换（移动）次数是一定的，且是相等的
• 单次数据交换，冒泡排序所需的时间更长（三次赋值操作，插排只需要一次）

另有插入排序的优化版本希尔排序。