docs/math/poly/ntt.md
author: ChungZH, Yukimaikoriya, tigerruanyifan, isdanni, Saisyc, 383494, Tiphereth-A, XuYueming520
数论变换（number-theoretic transform, NTT）是离散傅里叶变换（DFT）在数论基础上的实现；快速数论变换（fast number-theoretic transform, FNTT）是 快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现．
数论变换 是一种计算卷积（convolution）的快速算法．最常用算法就包括了前文提到的快速傅里叶变换．然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，举例来说，资料向量必须乘上复数系数的矩阵加以处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大．
NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大．目前最常见的模数是 998244353．
学习数论变换需要前置知识：离散傅里叶变换、生成子群、原根、离散对数．相关知识可以在对应页面中学习，此处不再赘述．
在数学中，NTT 是关于任意 环 上的离散傅立叶变换（DFT）．在有限域的情况下，通常称为数论变换（NTT）．
数论变换（NTT）是通过将离散傅立叶变换化为 $F={\mathbb {Z}/p}$，整数模质数 $p$．这是一个 有限域，只要 $n$ 可除 $p-1$，就存在本原 $n$ 次方根，所以我们有 $p=\xi n+1$ 对于 正整数 $ξ$．具体来说，对于质数 $p=qn+1, (n=2^m)$，原根 $g$ 满足 $g^{qn} \equiv 1 \pmod p$, 将 $g_n=g^q\pmod p$ 看做 $\omega_n$ 的等价，则其满足相似的性质，比如 $g_n^n \equiv 1 \pmod p, g_n^{n/2} \equiv -1 \pmod p$．
因为这里涉及到数论变化，所以 $N$（为了区分 FFT 中的 $n$，我们把这里的 $n$ 称为 $N$）可以比 FFT 中的 $n$ 大，但是只要把 $\frac{qN}{n}$ 看做这里的 $q$ 就行了，能够避免大小问题．
常见的有：
$$ p = 167772161 = 5 \times 2^{25}+1, g=3 $$
$$ p = 469762049 = 7 \times 2^{26}+1, g=3 $$
$$ p = 754974721 = 3^2 \times 5 \times 2^{24}+1, g=11 $$
$$ p = 998244353 = 7 \times 17 \times 2^{23}+1, g=3 $$
$$ p = 1004535809 = 479 \times 2^{21}+1, g=3 $$
就是 $g^{qn}$ 的等价 $\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} n}$．
迭代到长度 $l$ 时 $g_l = g^{\frac{p-1}{l}}$，或者 $\omega_n = g_l = g_N^{\frac{N}{l}} = g_N^{\frac{p-1}{l}}$．
快速数论变换（FNTT）是数论变换（NTT）增加分治操作之后的快速算法．
快速数论变换使用的分治办法，与快速傅里叶变换使用的分治办法完全一致．这意味着，只需在快速傅里叶变换的代码基础上进行简单修改，即可得到快速数论变换的代码．
在算法竞赛中常提到的 NTT 一词，往往实际指的是快速数论变换，一般默认「数论变换」是指「快速数论变换」．
这样简写的逻辑与快速傅里叶变换相似．事实上，「快速傅里叶变换」（FFT）一词指的是「快速离散傅里叶变换」（FDFT），但由于「快速」只能作用于离散，甚至是本原单位根阶数为 $2$ 的幂的特殊情形，不能作用于连续，因此「离散」一词被省略掉，FDFT 变为 FFT，即 FFT 永远指的是特殊的离散情形．
数论变换或快速数论变换是在取模意义下进行的操作，不存在连续的情形，永远是离散的，自然也无需提到离散一词．
在算法领域，不进行提速的操作是无意义的．在快速傅里叶变换中介绍 DFT 一词，是因为 DFT 在信号处理、图像处理领域也有其他的具体应用，同时 DFT 也是 FFT 的原理或前置知识．
在不引起混淆的情形下，常用 NTT 来代指 FNTT．为了不引起下文进一步介绍的混淆，下文的 NTT 与 FNTT 两个词进行了分离．
DFT、FFT、NTT、FNTT 的具体关系是：
在 DFT 与 NTT 的基础上，增加分治操作，得到 FFT 与 FNTT．分治操作的办法与原理，可以参见快速傅里叶变换一文．
在 DFT 与 FFT 的基础上，将复数加法与复数乘法替换为模 $p$ 意义下的加法和乘法，一般大小限制在 $0$ 到 $p-1$ 之间；将本原单位根改为模 $p$ 意义下的相同阶数的本原单位根，阶数为 $2$ 的幂，即可得到 NTT 与 FNTT．
由于替换的运算只涉及加法和乘法，因此 DFT、FFT、NTT、FNTT 拥有相同的原理，均在满足加法与乘法的环上进行，无需域上满足除法运算的更加严格的条件．
事实上，只要拥有原根，即群论中的生成元，该模数下的 NTT 或 FNTT 即可进行．考虑到模数为 $1$、$2$ 和 $4$ 的情形太小，不具有实际意义，对于奇素数 $p$ 和正整数 $\alpha$，只要给出模数为 $p^\alpha$ 和 $2p^\alpha$ 的原根 $g$，采用同样的办法，则 NTT 或 FNTT 仍然可以进行．
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cpp --8<-- "docs/math/code/poly/ntt/ntt_1.cpp"