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与离散傅里叶变换类似，Chirp Z 变换是给出多项式 $f(x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} f_i x^i \in \mathbb{C}\lbrack x\rbrack$ 和 $q \in \mathbb{C} \setminus {0}$ 求出 $f(1), f(q), \dots, f(q^{n - 1})$ 的一种算法，不要求 $q$ 为单位根．也可用于数论变换．后文将介绍 Chirp Z 变换与其逆变换．
根据定义，Chirp Z 变换可以写作
$$ \operatorname{\mathsf{CZT}}_n : \left(f(x), q\right) \mapsto \begin{bmatrix} f(1) & f(q) & \cdots & f\left(q^{n - 1}\right) \end{bmatrix} $$
其中 $f(x) := \sum_{i = 0}^{m - 1} f_i x^i \in \mathbb{C}\lbrack x\rbrack$ 且 $q \in \mathbb{C} \setminus {0}$．
考虑
$$ ij = \binom{i}{2} + \binom{-j}{2} - \binom{i - j}{2} $$
其中 $i, j \in \mathbb{Z}$，我们可以构造
$$ \begin{aligned} G(x) & := \sum_{i = -(m - 1)}^{n - 1} q^{-\binom{i}{2}}x^i, \ F(x) & := \sum_{i = 0}^{m - 1} f_i q^{\binom{-i}{2}}x^i. \end{aligned} $$
其中 $G(x) \in \mathbb{C}\left\lbrack x, x^{-1}\right\rbrack$，且对于 $i = 0, \dots, n - 1$ 我们有
$$ \begin{aligned} \left\lbrack x^i\right\rbrack\left(G(x)F(x)\right) &= \sum_{j = 0}^{m - 1}\left(\left(\left\lbrack x^{i - j}\right\rbrack G(x)\right)\left(\left\lbrack x^j\right\rbrack F(x)\right)\right) \ &= \sum_{j = 0}^{m - 1} f_j q^{\binom{-j}{2} - \binom{i - j}{2}} \ &= q^{-\binom{i}{2}} f\left(q^i\right) \end{aligned} $$
且 $q^{\binom{i + 1}{2}} = q^{\binom{i}{2}}\cdot q^i$，$\binom{-i}{2} = \binom{i + 1}{2}$．可以由一次多项式乘法完成求算，该算法被称为 Bluestein 算法．
??? note "模板（P6800【模板】Chirp Z-Transform）"
cpp --8<-- "docs/math/code/poly/czt/czt_1.cpp:core"
逆 Chirp Z 变换可以写作
$$ \operatorname{\mathsf{ICZT}}_n : \left( \begin{bmatrix} f(1) & f(q) & \cdots & f\left(q^{n - 1}\right) \end{bmatrix},q \right) \mapsto f(x) $$
其中 $f(x) \in \mathbb{C}\left\lbrack x\right\rbrack_{< n}$ 且 $q \in \mathbb{C} \setminus {0}$，并且 $q^i \neq q^j$ 对于所有 $i \neq j$ 成立，这是多项式插值的条件．
回顾 Lagrange 插值公式 为
$$ f(x) = \sum_{i = 0}^{n - 1}\left(f\left(x_i\right)\prod_{0 \leq j < n \atop j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\right) $$
且 $x_i \neq x_j$ 对于所有 $i \neq j$ 成立．与 多项式的快速插值 中相同，我们令 $M(x) := \prod_{i = 0}^{n - 1}\left(x - x_i\right)$，根据洛必达法则，有
$$ M'(x_i) = \lim_{x \to x_i} \frac{M(x)}{x - x_i} = \prod_{0 \leq j < n \atop j \neq i}\left(x_i - x_j\right) $$
修正 Lagrange 插值公式 就是
$$ f(x) = M(x)\left(\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{f\left(x_i\right)/M'(x_i)}{x - x_i}\right) $$
那么现在我们有
$$ f(x) = M(x)\left(\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{f\left(q^i\right)/M'\left(q^i\right)}{x - q^i}\right) $$
其中 $M(x)=\prod_{j = 0}^{n - 1}\left(x - q^j\right)$．若我们设 $n$ 为偶数，令 $n = 2k$ 和 $H(x) := \prod_{j = 0}^{k - 1}\left(x - q^j\right)$，那么
$$ M(x) = H(x) \cdot q^{k^2} \cdot H\left(\frac{x}{q^k}\right) $$
这使得我们可以快速计算 $M(x)$．然后用 Bluestein 算法来计算 $M'(1), \dots, M'(q^{n - 1})$．令 $c_i := f\left(q^i\right)/M'\left(q^i\right)$，我们有
$$ f(x) = M(x)\left(\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{c_i}{x - q^i}\right) $$
因为 $\deg f(x) < n$，我们只需计算 $\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{c_i}{x - q^i}\bmod{x^n}$，其中 $\frac{c_i}{x - q^i} \in \mathbb{C}\left\lbrack\left\lbrack x\right\rbrack\right\rbrack$，也就是
$$ \begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{c_i}{x - q^i} \bmod x^n &= -\sum_{i = 0}^{n - 1}\left(\sum_{j = 0}^{n - 1} c_i q^{-i(j+1)}x^j\right) \ &= -\sum_{j = 0}^{n - 1} C\left(q^{-j - 1}\right) x^j \end{aligned} $$
其中 $C(x) = \sum_{i = 0}^{n - 1} c_i x^i$．我们可以用 Bluestein 算法来计算 $C\left(q^{-1}\right), \dots, C\left(q^{-n}\right)$．
简单来说，我们分别进行下面的计算：
其中每一步的时间复杂度都等于两个次数小于等于 $n$ 的多项式相乘的时间复杂度．
??? note "模板实现"
cpp --8<-- "docs/math/code/poly/czt/inv_czt_1.cpp:core"