docs/math/numeral-sys/balanced-ternary.md
author: Enter-tainer, Falicitas, HeRaNO, iamtwz, ImpleLee, Tiphereth-A, Xeonacid, Yanjun-Zhao
平衡三进制，也称为对称三进制．这是一个广义进位系统．
正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的．它的基数也是 3（因为有三个可能的值）．由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1．
这里有几个例子：
| 十进制 | 平衡三进制 | 十进制 | 平衡三进制 |
|---|---|---|---|
0 | 0 | 5 | 1ZZ |
1 | 1 | 6 | 1Z0 |
2 | 1Z | 7 | 1Z1 |
3 | 10 | 8 | 10Z |
4 | 11 | 9 | 100 |
该数字系统的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z）．
| 十进制 | 平衡三进制 |
|---|---|
-1 | Z |
-2 | Z1 |
-3 | Z0 |
-4 | ZZ |
-5 | Z11 |
很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1．
在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示．当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2．从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1．而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1．
把 64 转换成平衡三进制．
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
$$ \text 64_{10} = 02101_3 $$
让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：
101 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；2 变成了 Z，它左边的数字加 1，得到 1Z101；1 被跳过，得到 1Z101．最终的结果是 1Z101．
我们再把它转换回十进制：
$$ \texttt {1Z101}=81 \times 1 +27 \times (-1) + 9 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 1 = 64_{10} $$
把 237 转换成平衡三进制．
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
$$ \text 237_{10} = 22210_3 $$
0 和 1 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；2 变成 Z，左边的数字加 1，得到 23Z10；3 变成 0，左边的数字加 1，得到 30Z10；3 变成 0，左边的数字（默认是 0）加 1，得到 100Z10；1 被跳过，得到 100Z10．最终的结果是 100Z10．
我们再把它转换回十进制：
$$ \texttt{100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10} $$
对于一个平衡三进制数 $X_3$ 来说，其可以按照每一位 $x_i$ 乘上对应的权值 $3^i$ 来唯一得到一个十进制数 $Y_{10}$．
那对于一个十进制数 $Y_{10}$，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？
答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性．
???+ note "证明" 我们利用 反证法 来求证：
假设一个十进制数 $Y_{10}$，存在两个 **不同的平衡三进制数** $A_3,B_3$ 转化成十进制时等于 $Y_{10}$，即证 $A_3 = B_3$．分情况讨论：
1. 当 $Y_{10}=0$，显然 $A_3 = B_3 = 0_3$，与假设矛盾．
2. 当 $Y_{10}>0$：
- 将 $A_3$，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位，$b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位．在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$．可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关．因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$．
- 对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位，$a_0 \neq b_0$．假设 $b_0 > a_0$（$a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in \{1,2\}$．$A_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$，$B_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$．由于 $A_3' = B_3'$，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$．$S_1,S_2$ 有公因子 $3$，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$
3. 当 $Y_{10}<0$，证法与 $Y_{10}>0$ 相同．
故对于任意十进制 $Y_{10}$，均有唯一对应的平衡三进制 $X_3$．
本页面部分内容译自博文 Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．