docs/math/linear-algebra/product.md
本文介绍向量之间的简单运算．
在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题．由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译．
在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量．高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法．
在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译．「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见．
在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号．
内积的概念 对于任意维数的向量都适用．
内积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些．
在 $n$ 维欧氏空间 $\mathbf{R}^n$ 下，已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$，它们的夹角为 $\theta$，那么：
$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \theta $$
就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积．其中称 $|\boldsymbol{b}|\cos \theta$ 为 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影．内积的几何意义即为：内积 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 等于 $\boldsymbol{a}$ 的模与 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影的乘积．
在 $n$ 维欧氏空间 $\mathbf{R}^n$ 下，已知两个向量 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n), \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，那么：
$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i $$
就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积．内积的几何定义与代数定义在欧氏空间下是等价的，而后者更方便使用．
在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写．如果在向量的右上角有上角标 $2$，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号．该上角标 $2$ 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 $2$ 以外任何个数的向量的内积．同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 $4$，而是必须将上角标 $2$ 的结果视为一个整体，以此类推．
可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算．具体而言，内积满足：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} &= \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) &= \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \ (\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} &= \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \ \boldsymbol{a} \cdot (\lambda \boldsymbol{b}) &= \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \end{aligned} $$
内积还满足交换律，即：
$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} $$
下面介绍内积运算的一些常见应用．
判定两向量垂直：
$$ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 $$
即互相垂直的两个向量的内积，结果为 $0$；向量与零向量内积，结果为 $0$．如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直．
判定两向量共线：
$$ \exists\lambda \in \mathbf{R} (\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}) \iff |\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| $$
计算向量的模：
$$ |\boldsymbol a| = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}} $$
计算两向量的夹角：
$$ \theta = \arccos \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol a| |\boldsymbol b|} $$
二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义．在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式．
二阶行列式可以视为四元函数，其定义为：
$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}=ad-bc $$
三阶行列式可以视为九元函数，其定义为：
$$ \begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{vmatrix}=aei+dhc+gbf-ahf-dbi-gec $$
一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正．如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算．
外积是 三维向量特有的运算．
在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示．然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标．
在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写．
外积有不同但等价的定义方法，下面介绍其中一些．
在三维欧氏空间 $\mathbf{R}^3$ 下，定义向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的外积为一个向量，记为 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$，其模与方向定义如下：
注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，可以发现外积的几何意义是：$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$ 是以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积．
在三维欧氏空间 $\mathbf{R}^3$ 下，定义向量 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1), \boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$ 的外积为一个向量 $\boldsymbol{c}$，记作 $\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$，其结果可以使用三阶行列式表示：
$$ \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} $$
其中 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 表示朝向为坐标轴 $x, y, z$ 的单位向量，并写在对应坐标处．展开得
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{c} &= \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \ &= (y_1z_2 - y_2z_1)\boldsymbol{i} + (z_1x_2 - z_2x_1)\boldsymbol{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\boldsymbol{k} \ &= (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1) \end{aligned} $$
外积是关于两个向量分别都线性的双线性运算．具体而言，外积满足：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} &= \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) &= \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c} \ (\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} &= \lambda (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \ \boldsymbol{a} \times (\lambda \boldsymbol{b}) &= \lambda (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \end{aligned} $$
前两行性质亦可称为分配律，即外积对于向量加法满足乘法分配律．
外积满足反交换律，即：
$$ \boldsymbol a \times \boldsymbol b=-\boldsymbol b \times \boldsymbol a $$
根据上文内积与外积的几何定义：
$$ \begin{aligned} |\boldsymbol a \times \boldsymbol b| &= |\boldsymbol a| |\boldsymbol b| \sin \langle \boldsymbol a, \boldsymbol b \rangle \ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b &= |\boldsymbol a| |\boldsymbol b| \cos \theta \ &= |\boldsymbol a| |\boldsymbol b| \cos \langle \boldsymbol a, \boldsymbol b\rangle \end{aligned} $$
可以写出恒等式：
$$ (\boldsymbol a\times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol a\times \boldsymbol b) = |\boldsymbol a|^2 |\boldsymbol b|^2-{(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)}^2 $$
外积满足 Jacobi 恒等式：
$$ \boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) + \boldsymbol b \times (\boldsymbol c \times \boldsymbol a) + \boldsymbol c \times (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) = \boldsymbol 0 $$
下面介绍外积运算的一些常见应用．
判定两向量是否共线：
$$ \exists\lambda \in \mathbf{R} (\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}) \iff \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $$
即共线的两个三维向量的外积，结果为 $\boldsymbol 0$；三维向量与自身外积，结果为 $\boldsymbol 0$；三维向量与零向量外积，结果为 $\boldsymbol 0$．若使用外积为零作为两向量共线的定义，则可以得出零向量与任何向量都共线．
计算两向量张成的平行四边形面积：
$$ S \langle \boldsymbol a, \boldsymbol b \rangle = |\boldsymbol a \times \boldsymbol b| $$
对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：
记 $\boldsymbol{a} = (m, n), \boldsymbol{b} = (p, q)$，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 $xOy$ 平面，原本的坐标 $(m, n)$ 和 $(p, q)$ 变为 $(m, n, 0)$ 和 $(p, q, 0)$．
那么两个向量的外积为 $(0, 0, mq - np)$，因此平行四边形的面积为 $|mq - np|$，可以视为二阶行列式运算结果的绝对值．
此时，根据右手法则和 $z$ 坐标的符号，可以推断出 $\boldsymbol b$ 相对于 $\boldsymbol a$ 的方向，若在逆时针方向则 $z$ 坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正．
与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算．
设 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 是三维空间中的三个向量，则 $(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c$ 称为三个向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 的混合积，记作 $[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c]$ 或 $(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c)$ 或 $(\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c)$ 或 $\det(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c)$．混合积的绝对值 $|(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c|$ 的几何意义表示以 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 为棱的平行六面体的体积．
向量的混合积可以使用三阶行列式表示：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c &= \det(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c) \ &= \begin{vmatrix} a_x & b_x & c_x \ a_y & b_y & c_y \ a_z & b_z & c_z \end{vmatrix} \ &= a_x b_y c_z + a_y b_z c_x + a_z b_x c_y - a_z b_y c_x -a _y b_x c_z - a_x b_z c_y \end{aligned} $$
混合积关于三个向量都分别线性，具体而言，有：
$$ \begin{aligned} \det(\lambda\boldsymbol{u} + \mu\boldsymbol{v}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) &= \lambda\det(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) + \mu\det(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \ \det(\boldsymbol{a}, \lambda\boldsymbol{u} + \mu\boldsymbol{v}, \boldsymbol{c}) &= \lambda\det(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{c}) + \mu\det(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{c}) \ \det(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \lambda\boldsymbol{u} + \mu\boldsymbol{v}) &= \lambda\det(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{u}) + \mu\det(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{v}) \end{aligned} $$
混合积具有反对称性，交换两个向量的位置会使混合积变成其相反数，因此有：
$$ \det(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c) = \det(\boldsymbol b, \boldsymbol c, \boldsymbol a) = \det(\boldsymbol c, \boldsymbol a, \boldsymbol b) = -\det(\boldsymbol b, \boldsymbol a, \boldsymbol c) = -\det(\boldsymbol a, \boldsymbol c, \boldsymbol b)= -\det(\boldsymbol c, \boldsymbol b, \boldsymbol a) $$
据此还可以得到内积与外积有如下关系：
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c = \boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) $$
向量的混合积有如下常见应用．
计算四面体 $ABCD$ 的体积：
$$ V=\frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\right| $$
判定 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 是否共面；
三个三维向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 共面的充分必要条件是 $\det(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c)=0$．
判定 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 构成的坐标系的手性；
混合积 $\det(\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c)$ 的符号是正还是负，取决于 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol c$ 形成的夹角是锐角还是钝角，即指向 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 张成平面的同侧还是异侧，这相当于 $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ 三个向量依序构成右手系还是左手系．具体而言：
三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性．三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？
先证明一个引理．
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol a = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol a $$
证明：由右手定则，$\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a$ 和 $\boldsymbol b$ 都垂直，待证等式左端与 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 垂直，因此待证等式左端与 $\boldsymbol a$ 和 $\boldsymbol b$ 共面．
因此可以假设：
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol a = \lambda \boldsymbol a + \mu \boldsymbol b $$
根据混合积的相关结论，上式两端同时对于 $\boldsymbol a$ 和 $\boldsymbol b$ 分别做内积，有：
$$ \begin{aligned} \lambda (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a)+\mu (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) &= 0 \ \lambda (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) + \mu (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol b) &= \det(\boldsymbol b, \boldsymbol a \times \boldsymbol b, \boldsymbol a) \ &= (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \end{aligned} $$
由前文推出的恒等式：
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) = |\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)^2 $$
可以解得：
$$ \begin{aligned} \lambda &= -\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b \ \mu &= \boldsymbol a \cdot \boldsymbol a \end{aligned} $$
证毕．
在上文的证明中提到，$\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 与任意向量叉乘，得到的向量与 $\boldsymbol a$ 和 $\boldsymbol b$ 共面．接下来证明 二重外积 的结论：
$$ (\boldsymbol a\times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol a $$
上述共面性有助于二重外积结论的记忆．可见，上文的引理为二重外积的特殊情况．
证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的．
三维向量 $\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$ 和 $\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ 不共面，因此可以假设：
$$ \boldsymbol c = \alpha \boldsymbol a + \beta \boldsymbol b + \gamma(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) $$
所以有：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol c &= (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times (\alpha \boldsymbol a + \beta \boldsymbol b + \gamma(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)) \ &= \alpha(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol a + \beta(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol b \end{aligned} $$
根据上文的引理有：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol a &=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol a \ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol b &= -(\boldsymbol b \times \boldsymbol a) \times \boldsymbol b \ &= -(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol a+(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol b \end{aligned} $$
因此有：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \times \boldsymbol c &= \alpha((\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a)\boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol a) + \beta((\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol b - (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol a) \ &=(\alpha(-\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) + \beta(-\boldsymbol b \cdot \boldsymbol b))\boldsymbol a + (\alpha \boldsymbol a \cdot \boldsymbol a + \beta \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol b \ &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol b - (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol a \end{aligned} $$
证毕．
根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a\times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c &=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol a \ \boldsymbol a \times(\boldsymbol b \times \boldsymbol c) &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)\boldsymbol c \end{aligned} $$
可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求．
借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式．
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d)=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol d)-(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol d)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c) $$
证明：
$$ \begin{aligned} (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol c \times \boldsymbol d) &= \det(\boldsymbol c, \boldsymbol d, \boldsymbol a \times \boldsymbol b) \ &= \det(\boldsymbol a \times \boldsymbol b, \boldsymbol c, \boldsymbol d) \ &= ((\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c)\cdot \boldsymbol d \ &= (\boldsymbol b(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)- \boldsymbol a(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c))\cdot \boldsymbol d \ &= (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol d) - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol d)(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c) \end{aligned} $$
可见，前文的恒等式
$$ (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot (\boldsymbol a \times \boldsymbol b) = |\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2 - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)^2 $$
是拉格朗日的恒等式的特殊情形．