docs/math/game-theory/zero-sum-game.md
前置知识：博弈论简介
本文讨论（二人）零和游戏．
在零和游戏中，两名玩家的收益之和恒为零，一方的收益必然意味着另一方的损失．零和游戏可以视为常和游戏的特殊情形．不过，任何常和游戏都可以通过对某一方的收益整体加上或减去一个常数，等价地转化为零和游戏，所以仅需要讨论零和游戏．
在算法竞赛中常见的零和游戏大致可分为两类：序贯零和游戏与同时零和游戏．
序贯零和游戏中，两名玩家轮流行动，直到游戏终止．
序贯零和游戏中，玩家的收益函数呈现递归结构．游戏局面 $S$ 可以分为三类，即终止局面 $S_0$、玩家 $1$ 行动的局面 $S_1$ 和玩家 $2$ 行动的局面 $S_2$．假设终止局面 $s\in S_0$ 处，玩家 $1$ 的收益为 $v(s)$，相应地，玩家 $2$ 的收益为 $-v(s)$．因此，轮到玩家 $2$ 行动时，最大化它的收益就相当于最小化玩家 $1$ 的收益．由此，假设双方都采取最优策略，玩家 $1$ 在局面 $s\in S$ 处能够获得的最大收益 $V(s)$ 满足如下递推关系：
$$ V(s) = \begin{cases} v(s), & s \in S_0,\ \max_{t\in s} V(t), & s\in S_1,\ \min_{t\in s} V(t), & s\in S_2. \end{cases} $$
其中，$t\in s$ 表示 $t$ 是 $s$ 的后继局面．这就是 极小化极大思想．
将这一算法应用于实际问题中，通常有如下具体方法：
如果游戏中涉及的局面数量较少，直接暴力实现这一算法即可．
如果游戏中涉及的局面数量较为庞大且没有特殊结构，可以考虑 Alpha–Beta 剪枝 并结合其他搜索剪枝算法使用．
如果游戏中单个局面经常是多个局面的后继局面，为避免重复搜索，可以考虑记忆化搜索或其他动态规划算法．
如果游戏中玩家的最终收益是终局前所有行动的收益和，可以适当优化建模方式．具体地，假设到达终局 $s\in S_0$ 时，玩家 $i=1,2$ 的行动序列分别为 ${a^{(i)}j}{j=1}^{k_i}$，行动 $a$ 对应的收益为 $w(a)$，玩家 $1$ 的收益函数为
$$ v(s) = \sum_{j=1}^{k_1}w(a_j^{(1)}) - \sum_{j=1}^{k_2}w(a_j^{(2)}). $$
那么，可以设 $\tilde V(s)$ 为当前玩家在局面 $s\in S$ 之后的游戏中能够取得的最大分数．对于初始状态 $s_0$，有 $V(s_0)=\tilde V(s_0)$，因此求出 $\tilde V(\cdot)$ 足以求解原问题．对于 $\tilde V(\cdot)$，有如下递推关系：
$$ \tilde V(s) = \begin{cases} 0, & s \in S_0, \ \max_{t\in s} w(a_{s\to t}) - \tilde V(t), & s\in S_1\cup S_2. \end{cases} $$
其中，$a_{s\to t}$ 表示可以使得状态从 $s$ 转移到 $t$ 的行动，如果有多个这样的行动，取收益 $w(a)$ 最高的那个．
公平组合游戏都是序贯零和游戏，只需要设游戏中胜利方和失败方的收益分别为 $+1$ 和 $-1$．此时，收益函数 $V(\cdot)$ 的递推关系其实就是判定必胜状态和必败状态的 引理．
这类问题还有一种常见的变形，即求胜利方最少需要的回合数和失败方最多可以坚持的回合数．为此，只需要注意到从终止状态开始做 BFS 并按照引理判定必胜状态和必败状态时，记录判定必胜状态和必败状态时 BFS 进行到的轮次数，就是所求的回合数．这是因为判定为必胜状态只需要一个后继状态是必败状态即可，它总是由后继状态中轮次数最小的必败状态转移而来；而判定为必败状态需要所有后继状态都是必胜状态，它总是由后继状态中轮次数最大的必胜状态转移而来．
这一方法同样可以推广到一般的 有向图游戏．
???+ example "Codeforces 794 E. Choosing Carrot" 设有一个长度为 $n$ 的数列 ${a_i}$．两名玩家 $1$ 和 $2$ 轮流从数列的两端取走一个数，直到数列中仅剩下最后一个数字为止．玩家 $1$ 的目标是最大化这个最后剩下的数字，玩家 $2$ 的目标是最小化它．在游戏正式开始前，玩家 $1$ 还可以先进行 $k$ 次行动．假设两名玩家在整个过程中都采取最优策略．对于每一个 $k = 0,1,2,\cdots,n-1$，求出游戏结束时最后剩下的数字．其中，$1 \le n \le 3\times 10^5$．
??? note "解答" 因为无论双方怎样取走数字，数列剩余部分都是一段完整的区间．所以，游戏中的局面可以仅由区间 $[l,r]$ 和当前行动的玩家 $i=1,2$ 描述，可以使用动态规划算法求解．设 $f(l,r,i)$ 为局面由 $(l,r,i)$ 描述时，游戏最后剩下的数字．由前文分析可知，当 $l < r$ 时，这一函数满足状态转移方程：
$$
\begin{aligned}
f(l,r,1) &= \max\{f(l+1,r,2),f(l,r-1,2)\},\\
f(l,r,2) &= \min\{f(l+1,r,1),f(l,r-1,1)\}.
\end{aligned}
$$
终值条件为 $f(l,l,1)=f(l,l,2) = a_l$．据此，可以在 $\Theta(n^2)$ 时间内求出所有可能局面的函数值．对于每个 $k$，答案就是
$$
g(k) = \max f(l,r,1) \text{ subject to } r - l + 1 = k.
$$
这一算法无法通过原题所设的数据范围，因此需要考虑优化转移．此处有很多种处理方法，本文只提供其中一种．
将状态转移方程看作是对数列整体的操作．两个转移方程分别表示将相邻数字取最大值和最小值得到新数列，将它们分别称为「最大化操作」和「最小化操作」．每次操作都会使得数列长度减一．所有长度为 $d$ 的区间对应结果共计 $(n-d+1)$ 个，这就相当于对序列进行 $(d-1)$ 次操作得到的序列．另外，要得到 $f(l,r,1)$ 的结果，就需要保证最后一次操作是最大化操作．因此，这些操作序列的结尾总是最大化操作．
考虑连续两次操作给数列带来的变化．不妨考虑首先做最小化操作，再做最大化操作．此时，数列 $a_1,a_2,a_3$ 将变为
$$
\max\{\min\{a_1,a_2\},\min\{a_2,a_3\}\}.
$$
枚举 $a_1,a_2,a_3$ 三个数字之间所有可能的大小关系可知，除了 $a_1 < a_2$ 且 $a_2 > a_3$（即 $a_2$ 是严格极大值）这种情形外，这一表达式总是等于 $a_2$．也就是说，如果一个数列不存在任何严格极大值点，那么，连续两次操作对它的唯一影响就是删去了数列首尾各一个数字．这显然大幅简化了转移．剩下唯一的问题就是：如何保证数列不存在任何严格极大值点？事实上，只要对序列做一次最大化操作，就能保证不存在严格极大值点．故而，所有偶数次操作的结果，可以通过对初始数列进行两次操作得到的序列，逐对删去首尾数字得到；所有奇数次操作的结果，可以通过对初始数列进行一次操作得到的序列，逐对删去首尾数字得到．
由于对序列的完整操作至多只需要进行 $3$ 次，而后续统计答案只需要 $2$ 次遍历，所以该算法的总时间复杂度为 $\Theta(n)$．
??? note "参考代码"
cpp --8<-- "docs/math/code/zero-sum-game/zero-sum-game-1.cpp"
同时零和博弈中，两名玩家同时行动．
同时零和游戏通常采用收益矩阵表示．假设玩家 $i=1,2$ 的行动集合为 $A_i$，且当玩家 $i=1,2$ 分别采取行动 $a_i\in A_i$ 时，两人的收益分别是 $v(a_1,a_2)$ 和 $-v(a_1,a_2)$．
???+ example "例子" 考虑石头剪刀布游戏．假定胜利得 $1$ 分，失败得 $-1$ 分，平局得 $0$ 分．那么，游戏中两人的收益可以表示为
$$
\begin{pmatrix}
0,0 & 1,-1 & -1,1 \\
-1,1 & 0,0 & 1,-1 \\
1,-1 & -1,1 & 0,0
\end{pmatrix}.
$$
一般的二人同时游戏也可以表示为类似形式，故而也称为 [双矩阵游戏](https://en.wikipedia.org/wiki/Bimatrix_game)（bimatrix game）．对于零和博弈，由于玩家 $1$ 的收益矩阵和玩家 $2$ 的收益矩阵互为相反数，所以可以只考虑玩家 $1$ 的收益矩阵：
$$
V = (v(a_1,a_2))_{(a_1,a_2)\in A_1\times A_2} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
$$
需要解决的问题是：给定收益矩阵 $V = (v(a_1,a_2))_{(a_1,a_2)\in A_1\times A_2}$，如何求出两名玩家的最优策略和最大收益？
相较于序贯零和游戏，同时游戏中两名玩家的角色是对称的．但是，既然已经解决了序贯零和游戏，那么不妨考虑同时游戏的序贯版本．例如，如果假定玩家 $1$ 首先做出行动，玩家 $2$ 再做出行动，那么，根据前文讨论，游戏结束时玩家 $1$ 的收益将由
$$ w_-=\max_{a_1\in A_1}\min_{a_2\in A_2} v(a_1,a_2) $$
给出．由于玩家 $1$ 的行动对于玩家 $2$ 单向透明，这应该是玩家 $1$ 所能获得的最差结果．对称地，如果假定玩家 $2$ 首先行动，那么，玩家 $1$ 的收益将由
$$ w_+ = \min_{a_2\in A_2}\max_{a_1\in A_1} v(a_1,a_2) $$
给出．由于玩家 $2$ 的行动对于玩家 $1$ 单向透明，这应该是玩家 $1$ 所能获得的最好结果．玩家 $1$ 应该期待实际进行游戏时，所能获得的收益 $w\in[w_-,w_+]$．尽管不等式 $w_-\le w_+$ 总是成立（证明参见 弱对偶定理），但是由于等号未必成立，所以，仅采用序贯游戏的分析手段，一般情况下没有办法唯一确定游戏结果．
???+ example "例子（续）" 石头剪刀布游戏中，如果出手有先后，那么先手必输，后手必赢．转换为数学语言，这就是下列不等式：
$$
w_- = -1 \le +1 = w_+.
$$
此时，$w_-\neq w_+$ 并不成立．
上述分析过程遗漏了同时游戏的一个关键因素，就是玩家无法准确预测对手的行动．形式上，这意味着双方可以采取某种随机策略．这一想法在序贯博弈的语境下并不成立，因为无论先手玩家如何随机选择行动，后手玩家总能准确地观测到这一行动，并有针对性地回应．但是，对于同时游戏，随机策略引入的战略模糊将使得对手无法有效地针对己方的行动．
???+ example "例子（续）" 石头剪刀布游戏中，如果玩家 $1$ 均匀随机地选择剪刀、石头、布三个行动之一，那么，根据玩家 $2$ 的行动不同，玩家 $1$ 可能获得的收益是
$$
\dfrac{1}{3}(0,1,-1)^T + \dfrac{1}{3}(-1,0,1)^T + \dfrac{1}{3}(1,-1,0)^T = (0,0,0)^T.
$$
此时，无论玩家 $2$ 如何选择行动，玩家 $1$ 的期望收益总是 $0$．这显然好于确定性地选择单个行动．
由此，就引入了混合策略的概念．
???+ abstract "混合策略" 同时游戏中，玩家 $i$ 的 混合策略（mixed strategy），简称 策略，是指函数 $s_i:A_i\to[0,1]$，且它满足 $\sum_{a_i\in A_i}s_i(a_i)=1$．也就是说，策略 $s_i$ 就是玩家 $i$ 的行动集合 $A_i$ 上的一个概率分布．玩家 $i$ 全体混合策略的集合记作 $S_i=\Delta(A_i)$，其中，$\Delta(A_i)$ 表示 $A_i$ 上的全体概率分布的集合．如果 $s_i$ 是退化的概率分布，即存在 $a\in A_i$ 使得 $s_i(a)=1$，那么，也称策略 $s_i$ 为 纯策略（pure strategy）．
混合策略的收益就是单个行动收益的期望：
$$ v(s_1,s_2) = \sum_{a_1\in A_1}\sum_{a_2\in A_2}s_1(a_1)s_2(a_2)v(a_1,a_2). $$
将单个行动看作对应的纯策略，那么，就可以将行动集合 $A_i$ 嵌入（混合）策略集合 $S_i$ 中，且上式定义的 $v(s_1,s_2)$ 就可以看作是将 $v(a_1,a_2)$ 从 $A_1\times A_2$ 延拓到 $S_1\times S_2$ 上．
引入混合策略后，极大化极小思想和极小化极大思想得到的结果是一致的，由此，同时零和游戏的结果也是唯一确定的．
???+ note "定理（von Neumann）" 允许混合策略的同时零和游戏中，如果双方都采取最优策略，那么，玩家 $1$ 的最大收益为
$$
w = \max_{s_1\in S_1}\min_{s_2\in S_2} v(s_1,s_2) = \min_{s_2\in S_2}\max_{s_1\in S_1} v(s_1,s_2),
$$
玩家 $2$ 的最大收益为 $-w$．
??? note "证明" 设 $w = \max_{s_1\in S_1}\min_{s_2\in S_2} v(s_1,s_2)$．考虑内层最小化问题，因为 $v(s_1,s_2)=\sum_{a_2\in A_2}s_2(a_2)v(s_1,a_2)$，所以，$\max_{s_2\in S_2}v(s_1,s_2)=\max_{a_2\in A_2}v(s_1,a_2)$，前者的最优解就是后者的最优解对应的纯策略．因此，有 $w = \max_{s_1\in S_1}\min_{a_2\in A_2} v(s_1,a_2)$．进而，引入辅助变量 $u$，问题就可以改写为
$$
w = \max_{s_1\in S_1} u \text{ subject to }u \le \min_{a_2\in A_2} v(s_1,a_2).
$$
因为这个约束就等价于 $u\le v(s_1,a_2)$ 对于所有 $a_2\in A_2$ 都成立．最后，引入混合策略 $s_1$ 的定义和收益函数 $v(s_1,a_2)$ 的表达式，原问题就等价于 [线性规划问题](../linear-programming.md)
$$
(P) \qquad
\begin{aligned}
w = \max_{u,s_1}\; & u\\
\text{subject to }& \sum_{a_1\in A_1}s_1(a_1)v(a_1,a_2) \ge u,~\forall a_2\in A_2,\\
& \sum_{a_1\in A_1}s_1(a_1) = 1,\\
& s_1(a_1) \ge 0,~\forall a_1\in A_1.
\end{aligned}
$$
这个问题显然是可行的，且最优解有解．根据 [对偶原理](../linear-programming.md#对偶原理) 可知，它的最优解就等于对偶问题的最优解：
$$
(D) \qquad
\begin{aligned}
w = \min_{t,s_2}\; & t\\
\text{subject to }&\sum_{a_2\in A_2}s_2(a_2)v(a_1,a_2) \le t,~\forall a_1\in A_1,\\
&\sum_{a_2\in A_2}s_2(a_2) = 1,\\
&s_2(a_2)\ge 0,~\forall a_2\in A_2.
\end{aligned}
$$
重复前文的步骤，这一问题就等价于 $\min_{s_2\in A_2}\min_{s_1\in S_1}v(s_1,s_2)$．定理得证．
这一结果正是这一游戏的 Nash 均衡．也就是说，假定双方都选择均衡中的最优策略，那么，没有任何玩家能够从偏离均衡策略中严格获益．
von Neumann 定理的证明同时也指出了同时零和游戏的求解方法．设 $n$ 和 $m$ 分别是玩家 $1$ 和 $2$ 可采取的行动数目．给定玩家 $1$ 的收益矩阵 $V\in\mathbf R^{n\times m}$，可以求解如下线性规划问题：
$$ \begin{aligned} w = \max_{(u,s)\in\mathbf R\times\mathbf R^n}; & u\ \text{subject to }& V^Ts \ge u\mathbf 1,\ & \mathbf 1^Ts = 1,\ & s \ge 0. \end{aligned} $$
这是一个规模为 $\Theta(n+m)$ 的线性规划问题，可以用 单纯形法 高效求解．算法得到的最优解 $s$ 就是玩家 $1$ 的最优（混合）策略．要求得玩家 $2$ 的最优策略，只需要从单纯形表中获得该问题最优解的对偶变量（即影子价格）即可．