docs/math/combinatorics/derangement.md
错位排列（derangement）是没有任何元素出现在其有序位置的排列．即，对于 $1\sim n$ 的排列 $P$，如果满足 $P_i\neq i$，则称 $P$ 是 $n$ 的错位排列．
例如，三元错位排列有 ${2,3,1}$ 和 ${3,1,2}$．四元错位排列有 ${2,1,4,3}$、${2,3,4,1}$、${2,4,1,3}$、${3,1,4,2}$、${3,4,1,2}$、${3,4,2,1}$、${4,1,2,3}$、${4,3,1,2}$ 和 ${4,3,2,1}$．错位排列是没有不动点的排列，即没有长度为 1 的循环．
全集 $U$ 即为 $1\sim n$ 的排列，$|U|=n!$；令 $S_i$ 是其中满足 $P_i\neq i$ 的排列．运用补集和 容斥原理 的知识，问题变成求：
$$ \begin{aligned} \left|\bigcap_{i=1}^n S_i\right| &=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{S_i}\right|\ &=n!-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right| \end{aligned} $$
其中求和的含义是 $1, 2, \cdots, n$ 中取 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 且满足 $a_i<a_{i+1}$．于是
$$ \left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right| $$
表示有 $k$ 个数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 满足 $P_{a_i}=a_i$，而剩下 $n-k$ 个数的位置任意的排列数，因此：
$$ \left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|=(n-k)! $$
这 $k$ 个数的选择情况共 $\dbinom{n}{k}$ 种，对其求和有：
$$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dbinom{n}{k}(n-k)!\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{n!}{k!}\ =&n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!} \end{aligned} $$
因此 $n$ 个元素的错位排列数为：
$$ D_n=n!-n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!}=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!} $$
错位排列数列的前几项为 $0,1,2,9,44,265$（OEIS A000166）．
把错位排列问题具体化，考虑这样一个问题：
$n$ 封不同的信，编号分别是 $1,2,3,4,5$，现在要把这五封信放在编号 $1,2,3,4,5$ 的信封中，要求信封的编号与信的编号不一样．问有多少种不同的放置方法？
假设考虑到第 $n$ 个信封，初始时暂时把第 $n$ 封信放在第 $n$ 个信封中，然后考虑两种情况的递推：
对于第一种情况，前面 $n-1$ 个信封全部装错：因为前面 $n-1$ 个已经全部装错了，所以第 $n$ 封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有 $D_{n-1}\times (n-1)$ 种情况．
对于第二种情况，前面 $n-1$ 个信封有一个没有装错其余全部装错：考虑这种情况的目的在于，若 $n-1$ 个信封中如果有一个没装错，那么把那个没装错的与 $n$ 交换，即可得到一个全错位排列情况．
其他情况，不可能通过一次操作来把它变成一个长度为 $n$ 的错排．
于是可得，错位排列数满足递推关系：
$$ D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) $$
这里也给出另一个递推关系：
$$ D_n=nD_{n-1}+{(-1)}^n $$
错位排列数有一个简单的取整表达式，增长速度与阶乘仅相差常数：
$$ D_n=\begin{cases} \left\lceil\frac{n!}{\mathrm{e}}\right\rceil, & \text{if }n\text{ is even}, \ \left\lfloor\frac{n!}{\mathrm{e}}\right\rfloor, & \text{if }n\text{ is odd}. \end{cases} $$
随着元素数量的增加，形成错位排列的概率 P 接近：
$$ P=\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{\mathrm{e}} $$