docs/math/combinatorics/bell.md
贝尔数 $B_n$ 以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS A000110）：
$$ B_0 = 1,B_1 = 1,B_2=2,B_3=5,B_4=15,B_5=52,B_6=203,\dots $$
$B_n$ 是基数为 $n$ 的集合的划分方法的数目．集合 $S$ 的一个划分是定义为 $S$ 的两两不相交的非空子集的族，它们的并是 $S$．例如 $B_3 = 5$ 因为 3 个元素的集合 ${a, b, c}$ 有 5 种不同的划分方法：
$$ \begin{aligned} &{ {a},{b},{c}} \ &{ {a},{b,c}} \ &{ {b},{a,c}} \ &{ {c},{a,b}} \ &{ {a,b,c}} \ \end{aligned} $$
$B_0$ 是 1 因为空集正好有 1 种划分方法．
贝尔数适合递推公式：
$$ B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{k} $$
证明：
$B_{n+1}$ 是含有 $n+1$ 个元素集合的划分个数，设 $B_n$ 的集合为 ${b_1,b_2,b_3,\dots,b_n}$，$B_{n+1}$ 的集合为 ${b_1,b_2,b_3,\dots,b_n,b_{n+1}}$，那么可以认为 $B_{n+1}$ 是有 $B_{n}$ 增添了一个 $b_{n+1}$ 而产生的，考虑元素 $b_{n+1}$．
假如它被单独分到一类，那么还剩下 $n$ 个元素，这种情况下划分数为 $\dbinom{n}{n}B_{n}$;
假如它和某 1 个元素分到一类，那么还剩下 $n-1$ 个元素，这种情况下划分数为 $\dbinom{n}{n-1}B_{n-1}$；
假如它和某 2 个元素分到一类，那么还剩下 $n-2$ 个元素，这种情况下划分数为 $\dbinom{n}{n-2}B_{n-2}$；
……
以此类推就得到了上面的公式．
每个贝尔数都是相应的 第二类斯特林数 的和． 因为第二类斯特林数是把基数为 $n$ 的集合划分为正好 $k$ 个非空集的方法数目．
$$ B_{n} = \sum_{k=0}^n{n\brace k} $$
用以下方法构造一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：
部分结果如下：
$$
\begin{aligned}
& 1 \
& 1\quad\qquad 2 \
& 2\quad\qquad 3\quad\qquad 5 \
& 5\quad\qquad 7\quad\qquad 10,,,\qquad 15 \
& 15,,,\qquad 20,,,\qquad 27,,,\qquad 37,,,\qquad 52 \
& 52,,,\qquad 67,,,\qquad 87,,,\qquad 114\qquad 151\qquad 203\
& 203\qquad 255\qquad 322\qquad 409\qquad 523\qquad 674\qquad 877 \
\end{aligned}
$$
每行的首项是贝尔数．可以利用这个三角形来递推求出贝尔数．
??? note "参考实现" === "C++" ```cpp constexpr int MAXN = 2000 + 5; int bell[MAXN][MAXN];
void f(int n) {
bell[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
bell[i][0] = bell[i - 1][i - 1];
for (int j = 1; j <= i; j++)
bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1];
}
}
```
=== "Python"
```python
MAXN = 2000 + 5
bell = [[0 for i in range(MAXN + 1)] for j in range(MAXN + 1)]
def f(n):
bell[0][0] = 1
for i in range(1, n + 1):
bell[i][0] = bell[i - 1][i - 1]
for j in range(1, i + 1):
bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1]
```
考虑贝尔数的指数生成函数及其导函数：
$$ \begin{aligned} \hat B(x) &= \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}x^n \ &= 1 + \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_{n+1}}{(n + 1)!}x^{n + 1} \ \hat B'(x) &= \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{B_{n+1}}{n!}x^{n} \end{aligned} $$
根据贝尔数的递推公式可以得到：
$$ \frac{B_{n+1}}{n!} = \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{(n-k)!}\frac{B_{k}}{k!} $$
这是一个卷积的式子，因此有：
$$ \hat B'(x) = \mathrm{e}^x \hat B(x) $$
这是一个微分方程，解得：
$$ \hat B(x) = \exp\left(\mathrm{e}^x + C\right) $$
最后当 $x = 0$ 时 $\hat B(x) = 1$，带入后解得 $C = -1$，得到贝尔数指数生成函数的封闭形式：
$$ \hat B(x) = \exp\left(\mathrm{e}^x - 1\right) $$
预处理出 $\mathrm{e}^x - 1$ 的前 $n$ 项后做一次 多项式 exp 即可得出贝尔数前 $n$ 项，时间复杂度瓶颈在多项式 exp，可做到 $O(n \log n)$ 的时间复杂度．