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本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例．
本文参考了 GB/T 3102.11-1993、ISO 80000-2:2019 和《具体数学》的符号表修订，故基本与国内通行教材的符号体系和 OI 场景的惯用符号体系兼容．
符号的 LaTeX 写法请参考 本文章的源代码
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n1.1"></a>n1.1 | $p \land q$ | $p$ 和 $q$ 的合取 | $p$ 与 $q$. |
| <a id="n1.2"></a>n1.2 | $p \lor q$ | $p$ 和 $q$ 的析取 | $p$ 或 $q$; |
| 此处的 "或" 是包含的，即若 $p$，$q$ 中有一个为真陈述，则 $p \lor q$ 为真． | |||
| <a id="n1.3"></a>n1.3 | $\lnot p$ | $p$ 的否定 | 非 $p$. |
| <a id="n1.4"></a>n1.4 | $p \implies q$ | $p$ 蕴含 $q$; | |
| 若 $p$ 为真，则 $q$ 为真 | $q \impliedby p$ 和 $p \implies q$ 同义． | ||
| <a id="n1.5"></a>n1.5 | $p \iff q$ | $p$ 等价于 $q$ | $(p \implies q) \land (q \implies p)$ 和 $p \iff q$ 同义． |
| <a id="n1.6"></a>n1.6 | $(\forall~x \in A)~~p(x)$ | 对 $A$ 中所有的 $x$, 命题 $p(x)$ 均为真 | 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 可以使用记号 $(\forall~x)~~p(x)$. |
| $\forall$ 称为全称量词． | |||
| $x \in A$ 的含义见 n2.1. | |||
| <a id="n1.7"></a>n1.7 | $(\exists~x \in A)~~p(x)$ | 存在一个属于 $A$ 的 $x$ 使得 $p(x)$ 为真 | 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 可以使用记号 $(\exists~x)~~p(x)$. |
| $\exists$ 称为存在量词． | |||
| $x \in A$ 的含义见 n2.1. | |||
| $(\exists!~x)~~p(x)$（唯一量词）用来表示恰有一个 $x$ 使得 $p(x)$ 为真． | |||
| $\exists!$ 也可以写作 $\exists^1$. |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n2.1"></a>n2.1 | $x \in A$ | $x$ 属于 $A$，$x$ 是集合 $A$ 中的元素 | $A \ni x$ 和 $x \in A$ 同义． |
| <a id="n2.2"></a>n2.2 | $y \notin A$ | $y$ 不属于 $A$，$y$ 不是集合 $A$ 中的元素 | |
| <a id="n2.3"></a>n2.3 | ${x_1, x_2, \dots, x_n}$ | 含元素 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的集合 | 也可写作 ${x_i |
| <a id="n2.4"></a>n2.4 | ${x \in A | $A$ 中使命题 $p(x)$ 为真的所有元素组成的集合 | 例如 ${x \in \textbf{R} |
| 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$，可以使用符号 ${x | |||
| $\vert$ 也可以使用冒号替代，如 ${x \in A : p(x)}$. | |||
| <a id="n2.5"></a>n2.5 | $\operatorname{card} A$; | ||
| $\vert A\vert$; | |||
| $# A$ | $A$ 中的元素个数，$A$ 的基数 | ||
| <a id="n2.6"></a>n2.6 | $\varnothing$ | 空集 | 不应使用 $\emptyset$. |
| <a id="n2.7"></a>n2.7 | $B \subseteq A$ | $B$ 包含于 $A$ 中，$B$ 是 $A$ 的子集 | $B$ 的每个元素都属于 $A$. |
| $\subset$ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明． | |||
| $A \supseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 同义． | |||
| <a id="n2.8"></a>n2.8 | $B \subset A$ | $B$ 真包含于 $A$ 中，$B$ 是 $A$ 的真子集 | $B$ 的每个元素都属于 $A$, 且 $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$. |
| 若 $\subset$ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 $\subsetneq$. | |||
| $A \supset B$ 与 $B \subset A$ 同义． | |||
| <a id="n2.9"></a>n2.9 | $A \cup B$ | $A$ 和 $B$ 的并集 | $A \cup B := {x |
| $:=$ 的定义参见 n4.3 | |||
| <a id="n2.10"></a>n2.10 | $A \cap B$ | $A$ 和 $B$ 的交集 | $A \cap B := {x |
| $:=$ 的定义参见 n4.3 | |||
| <a id="n2.11"></a>n2.11 | $\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$ | 集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的并集 | $\displaystyle \bigcup\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$; |
| 也可使用 $\displaystyle \bigcup\nolimits_{i=1}^n$，$\displaystyle \bigcup\limits_{i\in I}$，$\displaystyle \bigcup\nolimits_{i\in I}$, 其中 $I$ 表示指标集； | |||
| 进一步，令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 $\displaystyle \bigcup_{P(i)} A_i$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $A_i$ 之并集 | |||
| <a id="n2.12"></a>n2.12 | $\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i$ | 集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的交集 | $\displaystyle \bigcap\limits_{i=1}^n A_i=A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n$; |
| 也可使用 $\displaystyle \bigcap\nolimits_{i=1}^n$，$\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I}$，$\displaystyle \bigcap\nolimits_{i\in I}$, 其中 $I$ 表示指标集； | |||
| 进一步，令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 $\displaystyle \bigcap_{P(i)} A_i$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $A_i$ 之交集 | |||
| <a id="n2.13"></a>n2.13 | $A \setminus B$ | $A$ 和 $B$ 的差集 | $A \setminus B = {x |
| 不应使用 $A - B$; | |||
| 当 $B$ 是 $A$ 的子集时也可使用 $\complement_A B$, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$，则 $A$ 可以省略． | |||
| 不引起歧义的情况下也可使用 $\overline{B}$ 表示集合 $B$ 的补集． | |||
| <a id="n2.14"></a>n2.14 | $(a, b)$ | 有序数对 $a$，$b$; | |
| 有序偶 $a$，$b$ | $(a, b) = (c, d)$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$. | ||
| <a id="n2.15"></a>n2.15 | $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ | 有序 $n$ 元组 | 参见 n2.14. |
| <a id="n2.16"></a>n2.16 | $A \times B$ | 集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积 | $A \times B = {(x, y) |
| <a id="n2.17"></a>n2.17 | $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i$ | 集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 的笛卡尔积 | $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} A_i={(x_1, x_2, \dots, x_n) |
| $A \times A \times \dots \times A$ 记为 $A^n$, 其中 $n$ 是乘积中的因子数； | |||
| 该符号的另一种用法参见 n6.8 | |||
| <a id="n2.18"></a>n2.18 | $\mathrm{id}_A$ | $A\times A$ 的对角集 | $\mathrm{id}_A={(x, x) |
| 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 则 $A$ 可以省略． | |||
| <a id="n2.19"></a>n2.19 | $\mathbf{1}_A$ | 指示函数 | $\mathbf{1}_A(a)=[a\in A]$，$[\cdot]$ 的定义参见 n6.24． |
| <a id="n2.20"></a>n2.20 | $\mathcal{P}(A)$; | ||
| $2^A$ | 幂集 | $\mathcal{P}(A)={S:S\subseteq A}$ |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n3.1"></a>n3.1 | $\mathbf{N}$ | 自然数集 | $\mathbf{N} = {0, 1, 2, 3, \dots}$; |
| $\mathbf{N}^* = \mathbf{N}_+ = {1, 2, 3, \dots}$; | |||
| 可用如下方式添加其他限制：$\mathbf{N}_{> 5} = {n \in \mathbf{N} | |||
| 也可使用 $\mathbb{N}$. | |||
| <a id="n3.2"></a>n3.2 | $\mathbf{Z}$ | 整数集 | $\mathbf{Z}^* = \mathbf{Z}_+ = {n \in \mathbf{Z} |
| 可用如下方式添加其他限制：$\mathbf{Z}_{> -3} = {n \in \mathbf{Z} | |||
| 也可使用 $\mathbb{Z}$. | |||
| <a id="n3.3"></a>n3.3 | $\mathbf{Q}$ | 有理数集 | $\mathbf{Q}^* = \mathbf{Q}_+ = {r \in \mathbf{Q} |
| 可用如下方式添加其他限制：$\mathbf{Q}_{< 0} = {r \in \mathbf{Q} | |||
| 也可使用 $\mathbb{Q}$. | |||
| <a id="n3.4"></a>n3.4 | $\mathbf{R}$ | 实数集 | $\mathbf{R}^* = \mathbf{R}_+ = {x \in \mathbf{R} |
| 可用如下方式添加其他限制：$\mathbf{R}_{> 0} = {x \in \mathbf{R} | |||
| 也可使用 $\mathbb{R}$. | |||
| <a id="n3.5"></a>n3.5 | $\mathbf{C}$ | 复数集 | $\mathbf{C}^* = \mathbf{C}_+ = {z \in \mathbf{C} |
| 也可使用 $\mathbb{C}$. | |||
| <a id="n3.6"></a>n3.6 | $\mathbf{P}$ | （正）素数集 | $\mathbf{P} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots}$; |
| 也可使用 $\mathbb{P}$. | |||
| <a id="n3.7"></a>n3.7 | $[a, b]$ | $a$ 到 $b$ 的闭区间 | $[a, b] = {x \in \mathbf{R} |
| <a id="n3.8"></a>n3.8 | $(a, b]$ | $a$ 到 $b$ 的左开右闭区间 | $(a, b] = {x \in \mathbf{R} |
| $(-\infty, b] = {x \in \mathbf{R} | |||
| <a id="n3.9"></a>n3.9 | $[a, b)$ | $a$ 到 $b$ 的左闭右开区间 | $[a, b) = {x \in \mathbf{R} |
| $[a, +\infty) = {x \in \mathbf{R} | |||
| <a id="n3.10"></a>n3.10 | $(a, b)$ | $a$ 到 $b$ 的开区间 | $(a, b) = {x \in \mathbf{R} |
| $(-\infty, b) = {x \in \mathbf{R} | |||
| $(a, +\infty) = {x \in \mathbf{R} |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n4.1"></a>n4.1 | $a = b$ | $a$ 等于 $b$ | $\equiv$ 用于强调某等式是恒等式 |
| 该符号的另一个含义参见 n4.18. | |||
| <a id="n4.2"></a>n4.2 | $a \ne b$ | $a$ 不等于 $b$ | |
| <a id="n4.3"></a>n4.3 | $a := b$ | $a$ 定义为 $b$ | 参见 n2.9,n2.10 |
| <a id="n4.4"></a>n4.4 | $a \approx b$ | $a$ 约等于 $b$ | 不排除相等． |
| <a id="n4.5"></a>n4.5 | $a \simeq b$ | $a$ 渐近等于 $b$ | 例如： |
| 当 $x\to a$ 时，$\dfrac{1}{\sin(x-a)} \simeq \dfrac{1}{x-a}$; | |||
| $x \to a$ 的含义参见 n4.15. | |||
| <a id="n4.6"></a>n4.6 | $a \propto b$ | $a$ 与 $b$ 成正比 | 也可使用 $a \sim b$. |
| $\sim$ 也用于表示等价关系． | |||
| <a id="n4.7"></a>n4.7 | $M \cong N$ | $M$ 与 $N$ 全等 | 当 $M$ 和 $N$ 是点集（几何图形）时． |
| 该符号也用于表示代数结构的同构． | |||
| <a id="n4.8"></a>n4.8 | $a < b$ | $a$ 小于 $b$ | |
| <a id="n4.9"></a>n4.9 | $b > a$ | $b$ 大于 $a$ | |
| <a id="n4.10"></a>n4.10 | $a \leq b$ | $a$ 小于等于 $b$ | |
| <a id="n4.11"></a>n4.11 | $b \geq a$ | $b$ 大于等于 $a$ | |
| <a id="n4.12"></a>n4.12 | $a \ll b$ | $a$ 远小于 $b$ | |
| <a id="n4.13"></a>n4.13 | $b \gg a$ | $b$ 远大于 $a$ | |
| <a id="n4.14"></a>n4.14 | $\infty$ | 无穷大 | 该符号 不 是数字． |
| 也可以使用 $+\infty$，$-\infty$. | |||
| <a id="n4.15"></a>n4.15 | $x \to a$ | $x$ 趋近于 $a$ | 一般出现在极限表达式中． |
| $a$ 也可以为 $\infty$，$+\infty$，$-\infty$. | |||
| <a id="n4.16"></a>n4.16 | $m \mid n$ | $m$ 整除 $n$ | 对整数 $m$，$n$: |
| $(\exists~k \in \mathbf{Z})~~m\cdot k = n$. | |||
| <a id="n4.17"></a>n4.17 | $m \perp n$ | $m$ 与 $n$ 互质 | 对整数 $m$，$n$: |
| $(\nexists~k \in \mathbf{Z}_{>1})~~(k \mid m) \land (k \mid n)$; | |||
| 该符号的另一种用法参见 n5.2 | |||
| <a id="n4.18"></a>n4.18 | $n \equiv k \pmod m$ | $n$ 模 $m$ 与 $k$ 同余 | 对整数 $n$，$k$，$m$: |
| $m \mid (n - k)$; | |||
| 不要与 n4.1 中提到的相混淆． |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n5.1"></a>n5.1 | $\parallel$ | 平行 | |
| <a id="n5.2"></a>n5.2 | $\perp$ | 垂直 | 该符号的另一种用法参见 n4.17 |
| <a id="n5.3"></a>n5.3 | $\angle$ | （平面）角 | |
| <a id="n5.4"></a>n5.4 | $\overline{\mathrm{AB}}$ | 线段 $\mathrm{AB}$ | |
| <a id="n5.5"></a>n5.5 | $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ | 有向线段 $\mathrm{AB}$ | |
| <a id="n5.6"></a>n5.6 | $d(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ | 点 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 之间的距离 | 即 $\overline{\mathrm{AB}}$ 的长度． |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n6.1"></a>n6.1 | $a + b$ | $a$ 加 $b$ | |
| <a id="n6.2"></a>n6.2 | $a - b$ | $a$ 减 $b$ | |
| <a id="n6.3"></a>n6.3 | $a \pm b$ | $a$ 加或减 $b$ | |
| <a id="n6.4"></a>n6.4 | $a \mp b$ | $a$ 减或加 $b$ | $-(a \pm b) = -a \mp b$. |
| <a id="n6.5"></a>n6.5 | $a \cdot b$; | ||
| $a \times b$; | |||
| $ab$ | $a$ 乘 $b$ | 若出现小数点，则应只使用 $\times$; | |
| 部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12 | |||
| <a id="n6.6"></a>n6.6 | $\dfrac{a}{b}$; | ||
| $a/b$; | |||
| $a:b$ | $a$ 除以 $b$ | $\dfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$; | |
| 可用 $:$ 表示同一量纲的数值的比率． | |||
| 不应使用 $÷$. | |||
| <a id="n6.7"></a>n6.7 | $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n a_i$ | $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ | 也可使用 $\displaystyle \sum\nolimits_{i=1}^n a_i$，$\displaystyle \sum\limits_i a_i$，$\displaystyle \sum\nolimits_i a_i$，$\displaystyle \sum a_i$； |
| 令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 $\displaystyle \sum_{P(i)} a_i$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $a_i$ 之和． | |||
| <a id="n6.8"></a>n6.8 | $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n a_i$ | $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n$ | 也可使用 $\displaystyle \prod\nolimits_{i=1}^n a_i$，$\displaystyle \prod\limits_i a_i$，$\displaystyle \prod\nolimits_i a_i$，$\displaystyle \prod a_i$； |
| 令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 $\displaystyle \prod_{P(i)} a_i$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $a_i$ 之积； | |||
| 该符号的另一种用法参见 n2.17 | |||
| <a id="n6.9"></a>n6.9 | $a^p$ | $a$ 的 $p$ 次幂 | |
| <a id="n6.10"></a>n6.10 | $a^{1/2}$; | ||
| $\sqrt{a}$ | $a$ 的 $1/2$ 次方，$a$ 的平方根 | 应避免使用 $\sqrt{}a$. | |
| <a id="n6.11"></a>n6.11 | $a^{1/n}$; | ||
| $\sqrt[n]{a}$ | $a$ 的 $1/n$ 次幂，$a$ 的 $n$ 次根 | 应避免使用 $\sqrt[n]{}a$. | |
| <a id="n6.12"></a>n6.12 | $\bar{x}$; | ||
| $\bar{x}_a$ | $x$ 的算数均值 | 其他均值有： | |
| 调和均值 $\bar{x}_h$; | |||
| 几何均值 $\bar{x}_g$; | |||
| 二次均值/均方根 $\bar{x}q$ 或 $\bar{x}{rms}$. | |||
| $\bar{x}$ 也用于表示复数 $x$ 的共轭，参见 n11.6. | |||
| <a id="n6.13"></a>n6.13 | $\operatorname{sgn} a$ | $a$ 的符号函数 | 对实数 $a$: |
| $\operatorname{sgn} a=1\quad (a>0)$; | |||
| $\operatorname{sgn} a=-1\quad (a<0)$; | |||
| $\operatorname{sgn} 0=0$; | |||
| 参见 n11.7. | |||
| <a id="n6.14"></a>n6.14 | $\inf M$ | $M$ 的下确界 | 小于等于非空集合 $M$ 中元素的最大上界． |
| <a id="n6.15"></a>n6.15 | $\sup M$ | $M$ 的上确界 | 大于等于非空集合 $M$ 中元素的最小下界． |
| <a id="n6.16"></a>n6.16 | $\lvert a\rvert$ | $a$ 的绝对值 | 也可使用 $\operatorname{abs} a$. |
| <a id="n6.17"></a>n6.17 | $\lfloor a\rfloor$ | 向下取整 | |
| 小于等于实数 $a$ 的最大整数 | 例如： | ||
| $\lfloor 2.4\rfloor = 2$; | |||
| $\lfloor -2.4\rfloor = -3$. | |||
| <a id="n6.18"></a>n6.18 | $\lceil a\rceil$ | 向上取整 | |
| 大于等于实数 $a$ 的最小整数 | 例如： | ||
| $\lceil 2.4\rceil = 3$; | |||
| $\lceil -2.4\rceil = -2$. | |||
| <a id="n6.19"></a>n6.19 | $\min(a, b)$; | ||
| $\min{a, b}$ | $a$ 和 $b$ 的最小值 | 可推广到有限集中． | |
| 要表示无限集中的最小值建议使用 $\inf$, 参见 n6.14 | |||
| <a id="n6.20"></a>n6.20 | $\max(a, b)$; | ||
| $\max{a, b}$ | $a$ 和 $b$ 的最大值 | 可推广到有限集中． | |
| 要表示无限集中的最大值建议使用 $\sup$, 参见 n6.15 | |||
| <a id="n6.21"></a>n6.21 | $n \bmod m$ | $n$ 模 $m$ 的余数 | 对正整数 $n$，$m$: |
| $(\exists~q\in\mathbf{N}, r\in[0, m))~~n=qm+r$; | |||
| 其中 $r=n \bmod m$. | |||
| <a id="n6.22"></a>n6.22 | $\gcd(a, b)$; | ||
| $\gcd{a, b}$ | 整数 $a$ 和 $b$ 的最大公因数 | 可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $(a, b)$. | |
| <a id="n6.23"></a>n6.23 | $\operatorname{lcm}(a, b)$; | ||
| $\operatorname{lcm}{a, b}$ | 整数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数 | 可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $[a, b]$; | |
| $(a, b)[a, b]=\lvert ab\rvert$. | |||
| <a id="n6.24"></a>n6.24 | $[P]$ | Iverson 括号 | 若命题 $P$ 为真，则 $[P]=1$，否则 $[P]=0$． |
| <a id="n6.25"></a>n6.25 | $a\uparrow b$； | ||
| $a\uparrow^{n} b$ | Knuth 箭头 | 对非负整数 $a,b,n$： | |
| $a\uparrow^{n} b=a~\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{n \text{ times}}~b$； | |||
| $a\uparrow^{0} b=ab$； | |||
| $a\uparrow^{1} b=a\uparrow b=a^b$； | |||
| $a\uparrow^{n} 0=1\quad(n>0)$； | |||
| $a\uparrow^{n}b=a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^{n}(b-1))$. | |||
| <a id="n6.26"></a>n6.26 | $[x^n]f(x)$ | 多项式/形式幂级数/形式 Laurent 级数 $f(x)$ 中 $x^n$ 项的系数 | 若 $\displaystyle f(x)=\sum_{i} a_ix^i$，则 $[x^n]f(x)=a_n$； |
| 可推广到多元情况，如若 $\displaystyle f(x,y)=\sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j$，则 $[x^ny^m]f(x,y)=a_{n,m}$. |
本节中的 $n$ 和 $k$ 是自然数，$a$ 是复数，且 $k\leq n$.
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n7.1"></a>n7.1 | $n!$ | 阶乘 | $n!=\prod_{k=1}^n k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n\quad (n>0)$; |
| $0!=1$. | |||
| <a id="n7.2"></a>n7.2 | $a^{\underline{k}}$; | ||
| $(a)_{-k}$ | 下降阶乘幂 | $a^{\underline{k}}=a\cdot(a-1)\cdot \dots \cdot(a-k+1)\quad (k>0)$; | |
| $a^{\underline{0}}=1$; | |||
| $n^{\underline{k}}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$. | |||
| <a id="n7.3"></a>n7.3 | $a^{\overline{k}}$; | ||
| $(a)_{+k}$ | 上升阶乘幂 | $a^{\overline{k}}=a\cdot(a+1)\cdot \dots \cdot(a+k-1)\quad (k>0)$; | |
| $a^{\overline{0}}=1$; | |||
| $n^{\overline{k}}=\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)!}$. | |||
| <a id="n7.4"></a>n7.4 | $\dbinom{n}{k}$ | 组合数 | $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$. |
| <a id="n7.5"></a>n7.5 | $\displaystyle{n\brack k}$ | 第一类 Stirling 数 | $\displaystyle{n+1\brack k}=n{n\brack k}+{n\brack k-1}$; |
| $\displaystyle x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^n{n\brack k}x^k$. | |||
| <a id="n7.6"></a>n7.6 | $\displaystyle{n\brace k}$ | 第二类 Stirling 数 | $\displaystyle{n\brace k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n$; |
| $\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\brace k}x^{\underline{k}}=x^n$. |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n8.1"></a>n8.1 | $f$ | 函数 | |
| <a id="n8.2"></a>n8.2 | $f(x)$，$f(x_1, \dots, x_n)$ | 函数 $f$ 在 $x$ 处的值 | |
| 函数 $f$ 在 $(x_1, \dots, x_n)$ 处的值 | |||
| <a id="n8.3"></a>n8.3 | $\operatorname{dom} f$ | $f$ 的定义域 | 也可使用 $\mathrm{D}(f)$. |
| <a id="n8.4"></a>n8.4 | $\operatorname{ran} f$ | $f$ 的值域 | 也可使用 $\mathrm{R}(f)$. |
| <a id="n8.5"></a>n8.5 | $f:A\to B$ | $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射 | $\operatorname{dom} f=A$ 且 $(\forall~x \in\operatorname{dom} f)~~ f(x) \in B$. |
| <a id="n8.6"></a>n8.6 | $x\mapsto T(x), x\in A$ | 将所有 $x\in A$ 映射到 $T(x)$ 的函数 | $T(x)$ 仅用于定义，用来表示某个参数为 $x\in A$ 的某个函数值．若这个函数为 $f$, 则对所有 $x\in A$ 均有 $f(x)=T(x)$. 因此 $T(x)$ 通常用来定义函数 $f$. |
| 例如： | |||
| $x\mapsto 3x^2y, x\in[0, 2]$; | |||
| 这是由 $3x^2y$ 定义的一个关于 $x$ 的二次函数．若未引入函数符号，则用 $3x^2y$ 表示该函数 | |||
| <a id="n8.7"></a>n8.7 | $f^{-1}$ | $f$ 的反函数 | 函数 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 有定义当且仅当 $f$ 是单射． |
| 若 $f$ 是单射，则 $\operatorname{dom}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{ran} f$，$\operatorname{ran}\left(f^{-1}\right) = \operatorname{dom} f$, 且 $(\forall~x\in\operatorname{dom} f)~~f^{-1}(f(x)) = x$. | |||
| 不要与函数的倒数 $f(x)^{-1}$ 混淆． | |||
| <a id="n8.8"></a>n8.8 | $g\circ f$ | $f$ 和 $g$ 的复合函数 | $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. |
| <a id="n8.9"></a>n8.9 | $f:x\mapsto y$ | $f(x)=y$，$f$ 将 $x$ 映射到 $y$ | |
| <a id="n8.10"></a>n8.10 | $f\vert_a^b$; | ||
| $f(\dots, u, \dots)\vert_{u=a}^{u=b}$ | $f(b)-f(a)$; | ||
| $f(\dots, b, \dots)-f(\dots, a, \dots)$ | 主要用于定积分的计算中． | ||
| <a id="n8.11"></a>n8.11 | $\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(x)$; | ||
| $\lim\nolimits_{x\to a}f(x)$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限 | $\lim\nolimits_{x\to a}f(x)=b$ 可以写成 $f(x)\to b\quad (x \to a)$. | |
| 右极限和左极限的符号分别为 $\lim\nolimits_{x\to a+}f(x)$ 和 | |||
| $\lim\nolimits_{x\to a-}f(x)$. | |||
| <a id="n8.12"></a>n8.12 | $f(x) = O(g(x))$ | $\lvert f(x)/g(x)\rvert$ 在上下文隐含的限制中有上界，$f(x)$ 的阶不高于 $g(x)$ | 当 $f/g$ 与 $g/f$ 均有界时称 $f$ 与 $g$ 是同阶的． |
| 使用符号 "$=$" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． | |||
| 例如： | |||
| $\sin x=O(x)\quad (x\to 0)$. | |||
| <a id="n8.13"></a>n8.13 | $f(x) = o(g(x))$ | 在上下文隐含的限制中有 $f(x)/g(x)\to 0$，$f(x)$ 的阶高于 $g(x)$ | 使用符号 "$=$" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． |
| 例如： | |||
| $\cos x=1+o(x)\quad (x\to 0)$. | |||
| <a id="n8.14"></a>n8.14 | $\Delta f$ | $f$ 的有限增量 | 上下文隐含的两函数值的差分．例如： |
| $\Delta x=x_2-x_1$; | |||
| $\Delta f(x)=f(x_2)-f(x_1)$. | |||
| <a id="n8.15"></a>n8.15 | $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$; | ||
| $f'$ | $f$ 对 $x$ 的导（函）数 | 仅用于一元函数． | |
| 可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$，$f'(x)$. | |||
| <a id="n8.16"></a>n8.16 | $\left(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)_{x=a}$; | ||
| $f'(a)$ | $f$ 在 $a$ 处的导（函）数值 | 参见 n8.15 | |
| <a id="n8.17"></a>n8.17 | $\dfrac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}$; | ||
| $f^{(n)}$ | $f$ 对 $x$ 的 $n$ 阶导（函）数 | 仅用于一元函数． | |
| 可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}$，$f^{(n)}(x)$. | |||
| 可用 $f''$ 和 $f'''$ 分别表示 $f^{(2)}$ 和 $f^{(3)}$. | |||
| <a id="n8.18"></a>n8.18 | $\dfrac{\partial f}{\partial x}$; | ||
| $f_x$ | $f$ 对 $x$ 的偏导数 | 仅用于多元函数． | |
| 可以显式指明自变量，如 $\dfrac{\partial f(x, y, \dots)}{\partial x}$，$f_x(x, y, \dots)$. | |||
| 可以扩展到高阶，如 $f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$; | |||
| $f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$. | |||
| <a id="n8.19"></a>n8.19 | $\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}$ | Jacobi 矩阵 | 参见1 |
| <a id="n8.20"></a>n8.20 | $\mathrm{d}f$ | $f$ 的全微分 | $\mathrm{d}f(x, y, \dots)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\dots$. |
| <a id="n8.21"></a>n8.21 | $\delta f$ | $f$ 的（无穷小）变分 | |
| <a id="n8.22"></a>n8.22 | $\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x$ | $f$ 的不定积分 | |
| <a id="n8.23"></a>n8.23 | $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x$ | $f$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分 | 也可使用 $\displaystyle \int\nolimits_a^b f(x)\mathrm{d}x$; |
| 定积分还可以定义在更一般的域上．如 $\displaystyle\int\limits_C$，$\displaystyle\int\limits_S$，$\displaystyle\int\limits_V$，$\displaystyle\oint$, 分别表示在曲线 $C$, 曲面 $S$, 三维区域 $V$, 和闭曲线或曲面上的定积分． | |||
| 多重积分可写成 $\displaystyle\iint$，$\displaystyle\iiint$ 等． | |||
| <a id="n8.24"></a>n8.24 | $f*g$ | 函数 $f$ 和 $g$ 的卷积 | $\displaystyle (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y$. |
$x$ 可以是复数．
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n9.1"></a>n9.1 | $\mathrm{e}$ | 自然对数的底 | $\displaystyle \mathrm{e}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=2.718 |
| 不要写成 $e$. | |||
| <a id="n9.2"></a>n9.2 | $a^x$ | $x$ 的指数函数（以 $a$ 为底） | 参见 n6.9. |
| <a id="n9.3"></a>n9.3 | $\mathrm{e}^x$; | ||
| $\exp x$ | $x$ 的指数函数（以 $\mathrm{e}$ 为底） | ||
| <a id="n9.4"></a>n9.4 | $\log_a x$ | $x$ 的以 $a$ 为底的对数 | 当底数不需要指定的时候可以使用 $\log x$. |
| 不应用 $\log x$ 替换 $\ln x$，$\lg x$，$\operatorname{lb} x$ 中的任意一个． | |||
| <a id="n9.5"></a>n9.5 | $\ln x$ | $x$ 的自然对数 | $\ln x = \log_{\mathrm{e}} x$; |
| 参见 n9.4. | |||
| <a id="n9.6"></a>n9.6 | $\lg x$ | $x$ 的常用对数 | $\lg x = \log_{10} x$; |
| 参见 n9.4. | |||
| <a id="n9.7"></a>n9.7 | $\operatorname{lb} x$ | $x$ 的以 $2$ 为底的对数 | $\operatorname{lb} x = \log_2 x$; |
| 参见 n9.4. |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n10.1"></a>n10.1 | $\pi$ | 圆周率 | $\pi = 3.141 |
| <a id="n10.2"></a>n10.2 | $\sin x$ | $x$ 的正弦 | $\sin x=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$; |
| $(\sin x)^n$，$(\cos x)^n$($n\geq 2$) 等通常写为 $\sin^n x$，$\cos^n x$ 等． | |||
| <a id="n10.3"></a>n10.3 | $\cos x$ | $x$ 的余弦 | $\cos x = \sin(x + \pi/2)$. |
| <a id="n10.4"></a>n10.4 | $\tan x$ | $x$ 的正切 | $\tan x = \sin x/\cos x$; |
| 不可使用 $\operatorname{tg} x$. | |||
| <a id="n10.5"></a>n10.5 | $\cot x$ | $x$ 的余切 | $\cot x = 1/\tan x$; |
| 不可使用 $\operatorname{ctg} x$. | |||
| <a id="n10.6"></a>n10.6 | $\sec x$ | $x$ 的正割 | $\sec x = 1/\cos x$. |
| <a id="n10.7"></a>n10.7 | $\csc x$ | $x$ 的余割 | $\csc x = 1/\sin x$; |
| 不可使用 $\operatorname{cosec} x$. | |||
| <a id="n10.8"></a>n10.8 | $\arcsin x$ | $x$ 的反正弦 | $y = \arcsin x \iff x = \sin y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)$. |
| <a id="n10.9"></a>n10.9 | $\arccos x$ | $x$ 的反余弦 | $y = \arccos x \iff x = \cos y\quad (0 \leq y \leq \pi)$. |
| <a id="n10.10"></a>n10.10 | $\arctan x$ | $x$ 反正切 | $y = \arctan x \iff x = \tan y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)$; |
| 不可使用 $\operatorname{arctg} x$. | |||
| <a id="n10.11"></a>n10.11 | $\operatorname{arccot} x$ | $x$ 反余切 | $y = \operatorname{arccot} x \iff x = \cot y\quad (0 \leq y \leq \pi)$; |
| 不可使用 $\operatorname{arcctg} x$. | |||
| <a id="n10.12"></a>n10.12 | $\operatorname{arcsec} x$ | $x$ 反正割 | $y = \operatorname{arcsec} x \iff x = \sec y\quad (0\leq y \leq \pi, y\ne \pi/2)$. |
| <a id="n10.13"></a>n10.13 | $\operatorname{arccsc} x$ | $x$ 的反余割 | $y = \operatorname{arccsc} x \iff x = \csc y\quad (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2, y\ne 0)$; |
| 不可使用 $\operatorname{arccosec} x$. | |||
| <a id="n10.14"></a>n10.14 | $\sinh x$ | $x$ 的双曲正弦 | $\sinh x=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$; |
| 不可使用 $\operatorname{sh} x$. | |||
| <a id="n10.15"></a>n10.15 | $\cosh x$ | $x$ 的双曲余弦 | $\cosh^2 x = \sinh^2 x + 1$; |
| 不可使用 $\operatorname{ch} x$. | |||
| <a id="n10.16"></a>n10.16 | $\tanh x$ | $x$ 的双曲正切 | $\tanh x = \sinh x/\cosh x$; |
| 不可使用 $\operatorname{th} x$. | |||
| <a id="n10.17"></a>n10.17 | $\coth x$ | $x$ 的双曲余切 | $\coth x = 1/\tanh x$. |
| <a id="n10.18"></a>n10.18 | $\operatorname{sech} x$ | $x$ 的双曲正割 | $\operatorname{sech} x = 1/\cosh x$. |
| <a id="n10.19"></a>n10.19 | $\operatorname{csch} x$ | $x$ 的双曲余割 | $\operatorname{csch} x = 1/\sinh x$; |
| 不可使用 $\operatorname{cosech} x$. | |||
| <a id="n10.20"></a>n10.20 | $\operatorname{arsinh} x$ | $x$ 的反双曲正弦 | $y = \operatorname{arsinh} x \iff x = \sinh y$; |
| 不可使用 $\operatorname{arsh} x$. | |||
| <a id="n10.21"></a>n10.21 | $\operatorname{arcosh} x$ | $x$ 的反双曲余弦 | $y = \operatorname{arcosh} x \iff x = \cosh y\quad (y \geq 0)$; |
| 不可使用 $\operatorname{arch} x$. | |||
| <a id="n10.22"></a>n10.22 | $\operatorname{artanh} x$ | $x$ 的反双曲正切 | $y = \operatorname{artanh} x \iff x = \tanh y$; |
| 不可使用 $\operatorname{arth} x$. | |||
| <a id="n10.23"></a>n10.23 | $\operatorname{arcoth} x$ | $x$ 的反双曲余切 | $y = \operatorname{arcoth} x \iff x = \coth y\quad (y \ne 0)$. |
| <a id="n10.24"></a>n10.24 | $\operatorname{arsech} x$ | $x$ 的反双曲正割 | $y = \operatorname{arsech} x \iff x = \operatorname{sech} y\quad (y \geq 0)$. |
| <a id="n10.25"></a>n10.25 | $\operatorname{arcsch} x$ | $x$ 的反双曲余割 | $y = \operatorname{arcsch} x \iff x = \operatorname{csch} y\quad (y \geq 0)$; |
| 不可使用 $\operatorname{arcosech} x$. |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n11.1"></a>n11.1 | $\mathrm{i}$ | 虚数单位 | $\mathrm{i}^2 = -1$; |
不可使用 $i$ 或 i | |||
| <a id="n11.2"></a>n11.2 | $\operatorname{Re} z$ | $z$ 的实部 | 参见 n11.3. |
| <a id="n11.3"></a>n11.3 | $\operatorname{Im} z$ | $z$ 的虚部 | 若 $z = x + \mathrm{i} y\quad (x, y\in\mathbf{R})$, 则 $x = \operatorname{Re} z$，$y = \operatorname{Im} z$. |
| <a id="n11.4"></a>n11.4 | $\lvert z\rvert$ | $z$ 的模 | $\lvert z\rvert=\sqrt{(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z)^2}$. |
| <a id="n11.5"></a>n11.5 | $\arg z$ | $z$ 的辐角 | 若 $z = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$, 其中 $r = \lvert z\rvert$ 且 $-\pi < \varphi \leq \pi$, 则 $\varphi = \arg z$. |
| $\operatorname{Re} z = r \cos \varphi$，$\operatorname{Im} z = r \sin \varphi$. | |||
| <a id="n11.6"></a>n11.6 | $\bar{z}$; | ||
| $z^*$ | $z$ 的复共轭 | $\bar{z}=\operatorname{Re}z-\mathrm{i}\operatorname{Im}z$. | |
| <a id="n11.7"></a>n11.7 | $\operatorname{sgn} z$ | $z$ 的单位模函数 | $\operatorname{sgn} z =z / \lvert z\rvert = \exp(\mathrm{i} \arg z)\quad (z \ne 0)$; |
| $\operatorname{sgn} 0 = 0$; | |||
| 参见 n6.13. |
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n12.1"></a>n12.1 | $A$; | ||
| 参见2 | $m\times n$ 型矩阵 $A$ | $a_{ij} = (A)_{ij}$; | |
| 也可使用 $A = (a_{ij})$. 其中 $m$ 为行数，$n$ 为列数 | |||
| $m=n$ 时称为方阵 | |||
| 可用方括号替代圆括号． | |||
| <a id="n12.2"></a>n12.2 | $A + B$ | 矩阵 $A$ 和 $B$ 的和 | $(A + B){ij} = (A){ij} + (B)_{ij}$; |
| 矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数必须分别相同． | |||
| <a id="n12.3"></a>n12.3 | $x A$ | 标量 $x$ 和矩阵 $A$ 的乘积 | $(x A){ij} = x (A){ij}$. |
| <a id="n12.4"></a>n12.4 | $AB$ | 矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积 | $\displaystyle(AB){ik} = \sum\limits{j}(A){ij}(B){jk}$; |
| 矩阵 $A$ 的列数必须等于矩阵 $B$ 的行数． | |||
| <a id="n12.5"></a>n12.5 | $I$; | ||
| $E$ | 单位矩阵 | $(I){ik} = \delta{ik}$; | |
| $\delta_{ik}$ 的定义参见 n14.9. | |||
| <a id="n12.6"></a>n12.6 | $A^{-1}$ | 方阵 $A$ 的逆 | $AA^{-1} = A^{-1}A = I\quad (\det A \ne 0)$. |
| $\det A$ 的定义参见 n12.10. | |||
| <a id="n12.7"></a>n12.7 | $A^{\mathrm{T}}$; | ||
| $A'$ | $A$ 的转置矩阵 | $(A^{\mathrm{T}}){ik} = (A){ki}$. | |
| <a id="n12.8"></a>n12.8 | $\overline{A}$; | ||
| $A^*$ | $A$ 的复共轭矩阵 | $\left(\overline{A}\right){ik}=\overline{(A){ik}}$. | |
| <a id="n12.9"></a>n12.9 | $A^{\mathrm{H}}$; | ||
| $A^{\dagger}$ | $A$ 的 Hermite 共轭矩阵 | $A^{\mathrm{H}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathrm{T}}$. | |
| <a id="n12.10"></a>n12.10 | $\det A$; | ||
| 参见3 | 方阵 $A$ 的行列式 | 也可使用 $\lvert A\rvert$. | |
| <a id="n12.11"></a>n12.11 | $\operatorname{rank}A$ | 矩阵 $A$ 的秩 | |
| <a id="n12.12"></a>n12.12 | $\operatorname{tr}A$ | 方阵 $A$ 的迹 | $\displaystyle\operatorname{tr}A=\sum\limits_{i}(A)_{ii}$. |
| <a id="n12.13"></a>n12.13 | $\lVert A\rVert$ | 矩阵 $A$ 的范数 | 满足三角不等式：若 $A + B = C$, 则 $\lVert A\rVert+\lVert B\rVert \geq \lVert C\rVert$. |
本节考虑三维空间中的一些坐标系．点 $\mathrm{O}$ 为坐标系的 原点．任意点 $\mathrm{P}$ 均由从原点 $\mathrm{O}$ 到点 $\mathrm{P}$ 的 位置向量 确定．
| 编号 | 坐标 | 位置向量和微分 | 坐标名 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| <a id="n13.1"></a>n13.1 | $x$，$y$，$z$ | $\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{e}_x + y \boldsymbol{e}_y + z \boldsymbol{e}_z$; | ||
| $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}x~\boldsymbol{e}_x + \mathrm{d}y~\boldsymbol{e}_y + \mathrm{d}z~\boldsymbol{e}_z$ | 笛卡尔坐标 | 基向量 $\boldsymbol{e}_x$，$\boldsymbol{e}_y$，$\boldsymbol{e}_z$ 构成右手正交系，见 图 1 和 图 4． | ||
| 基向量也可用 $\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_3$ 或 $\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$ 表示，坐标也可用 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 或 $i$，$j$，$k$ 表示． | ||||
| <a id="n13.2"></a>n13.2 | $\rho$，$\varphi$，$z$ | $\boldsymbol{r} = \rho~\boldsymbol{e}_{\rho} + z~\boldsymbol{e}_z$; | ||
| $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}\rho~\boldsymbol{e}{\rho} +\rho~\mathrm{d}\varphi~\boldsymbol{e}{\varphi} + \mathrm{d}z~\boldsymbol{e}_z$ | 柱坐标 | $\boldsymbol{e}{\rho}(\varphi)$，$\boldsymbol{e}{\varphi}(\varphi)$，$\boldsymbol{e}_z$ 组成右手正交系，见 图 2． | ||
| 若 $z = 0$, 则 $\rho$ 和 $\varphi$ 是平面上的极坐标． | ||||
| <a id="n13.3"></a>n13.3 | $r$，$\vartheta$，$\varphi$ | $\boldsymbol{r} = r \boldsymbol{e}_r$; | ||
| $\mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}r~\boldsymbol{e}r + r~\mathrm{d}\vartheta~\boldsymbol{e}{\vartheta} + r~\sin\vartheta~\mathrm{\mathrm{d}}\varphi~\boldsymbol{e}_{\varphi}$ | 球坐标 | $\boldsymbol{e}r(\vartheta, \varphi)$，$\boldsymbol{e}{\vartheta}(\vartheta, \varphi)$，$\boldsymbol{e}_{\varphi}(\varphi)$ 组成右手正交系，见 图 3． |
如果不使用 右手坐标系，而使用 左手坐标系，则应在之前明确强调，以免符号误用．
<a id="图-1"></a>图 1 右手笛卡尔坐标系
<a id="图-2"></a>图 2 右手柱坐标系
<a id="图-3"></a>图 3 右手球坐标系
<a id="图-4"></a>图 4 右手坐标系
<a id="图-5"></a>图 5 左手坐标系
本节中，基向量用 $\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_3$ 表示．本节中的许多概念都可以推广到 $n$ 维空间．
标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关．
对于基向量 $\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_3$, 每个向量 $\boldsymbol{a}$ 都可以表示为 $\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{e}_1+a_2\boldsymbol{e}_2+a_3\boldsymbol{e}_3$, 其中 $a_1$，$a_2$ 和 $a_3$ 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"，$a_1\boldsymbol{e}_1$，$a_2\boldsymbol{e}_2$ 和 $a_3\boldsymbol{e}_3$ 称为向量相对于该组基向量的分向量．
在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标．笛卡尔坐标用 $x$，$y$，$z$ 或 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 或 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 表示．
本节所有下标 $i$，$j$，$k$ 的范围均为 $1$ 到 $3$.
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n14.1"></a>n14.1 | $\boldsymbol{a}$; | ||
| $\vec{a}$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ | ||
| <a id="n14.2"></a>n14.2 | $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的和 | $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})_i = a_i + b_i$. |
| <a id="n14.3"></a>n14.3 | $x\boldsymbol{a}$ | 标量 $x$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积 | $(x\boldsymbol{a})_i = xa_i$. |
| <a id="n14.4"></a>n14.4 | $\lvert \boldsymbol{a}\rvert$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ 的大小，向量 $\boldsymbol{a}$ 的范数 | $\lvert \boldsymbol{a}\rvert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$; |
| 也可使用 $\lVert a\rVert$. | |||
| <a id="n14.5"></a>n14.5 | $\boldsymbol{0}$; | ||
| $\vec{0}$ | 零向量 | 零向量的大小为 $0$. | |
| <a id="n14.6"></a>n14.6 | $\boldsymbol{e_a}$ | $\boldsymbol{a}$ 方向的单位向量 | $\boldsymbol{e_a} = \boldsymbol{a}/\lvert\boldsymbol{a}\rvert\quad (\boldsymbol{a}\ne \boldsymbol{0})$. |
| <a id="n14.7"></a>n14.7 | $\boldsymbol{e}_x$，$\boldsymbol{e}_y$，$\boldsymbol{e}_z$; | ||
| $\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_3$ | 笛卡尔坐标轴方向的单位向量 | 也可使用 $\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{k}$. | |
| <a id="n14.8"></a>n14.8 | $a_x$，$a_y$，$a_z$; | ||
| $a_i$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ 的笛卡尔分量 | $\boldsymbol{a} = a_x \boldsymbol{e}_x + a_y \boldsymbol{e}_y + a_z \boldsymbol{e}_z$; | |
| 如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 $\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)$. | |||
| $a_x = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_x$，$a_y = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_y$，$a_z = \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}_z$; | |||
| $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{e}_x + y\boldsymbol{e}_y + z\boldsymbol{e}_z$ 是坐标为 $x$，$y$，$z$ 的位置向量． | |||
| <a id="n14.9"></a>n14.9 | $\delta_{ik}$ | Kronecker delta 符号 | $\delta_{ik}=[i=k]$，其中 $[\cdot]$ 的定义参见 n6.24，即： |
| $\delta_{ik}=1\quad (i=k)$; | |||
| $\delta_{ik}=0\quad (i\ne k)$. | |||
| <a id="n14.10"></a>n14.10 | $\varepsilon_{ijk}$ | Levi-Civita 符号 | $\varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1$; |
| $\varepsilon_{132} = \varepsilon_{321} = \varepsilon_{213} = -1$; | |||
| 其余的 $\varepsilon_{ijk}$ 均为 $0$. | |||
| <a id="n14.11"></a>n14.11 | $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的标量积/内积 | $\displaystyle\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum\limits_i a_ib_i$. |
| <a id="n14.12"></a>n14.12 | $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$ | 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的向量积/外积 | 右手笛卡尔坐标系中，$\displaystyle (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})i = \sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon{ijk}a_jb_k$; |
| $\varepsilon_{ijk}$ 的定义参见 n14.10. | |||
| <a id="n14.13"></a>n14.13 | $\mathbf{\nabla}$ | nabla 算子 | $\displaystyle \mathbf{\nabla} = \boldsymbol{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{e}_z\frac{\partial}{\partial z}=\sum\limits_i\boldsymbol{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}$. |
| <a id="n14.14"></a>n14.14 | $\mathbf{\nabla}\varphi$; | ||
| $\operatorname{\mathbf{grad}}\varphi$ | $\varphi$ 的梯度 | $\displaystyle \mathbf{\nabla}\varphi=\sum\limits_i\boldsymbol{e}_i\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$; | |
$\operatorname{\mathbf{grad}}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{grad}}. | |||
| <a id="n14.15"></a>n14.15 | $\mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{a}$; | ||
| $\operatorname{\mathbf{div}}\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{a}$ 的散度 | $\displaystyle \mathbf{\nabla}\cdot\boldsymbol{a}=\sum\limits_i\frac{\partial a_i}{\partial x_i}$; | |
$\operatorname{\mathbf{div}}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{div}}. | |||
| <a id="n14.16"></a>n14.16 | $\mathbf{\nabla}\times\boldsymbol{a}$; | ||
| $\operatorname{\mathbf{rot}}\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{a}$ 的旋度 | $\displaystyle (\mathbf{\nabla}\times\boldsymbol{a})i=\sum\limits_j\sum\limits_k\varepsilon{ijk}\frac{\partial a_k}{\partial x_j}$; | |
$\operatorname{\mathbf{rot}}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{rot}}. | |||
| 不应使用 $\operatorname{\mathbf{curl}}$. | |||
| $\varepsilon_{ijk}$ 的定义参见 n14.10. | |||
| <a id="n14.17"></a>n14.17 | $\mathbf{\nabla}^2$; | ||
| $\Delta$ | Laplace 算子 | $\mathbf{\nabla}^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$. |
本节中的 $z$，$w$ 是复数，$k$，$n$ 是自然数，且 $k\leq n$．
| 编号 | 符号，表达式 | 意义，等同表述 | 备注与示例 |
|---|---|---|---|
| <a id="n15.1"></a>n15.1 | $\gamma$ | Euler–Mascheroni 常数 | $\displaystyle \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)= 0.577 |
| <a id="n15.2"></a>n15.2 | $\Gamma(z)$ | gamma 函数 | $\displaystyle\Gamma(z)=\int\limits_0^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re}z>0)$; |
| $\Gamma(n+1)=n!$. | |||
| <a id="n15.3"></a>n15.3 | $\zeta(z)$ | Riemann zeta 函数 | $\displaystyle\zeta(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}\quad (\operatorname{Re}z>1)$. |
| <a id="n15.4"></a>n15.4 | $\operatorname{B}(z, w)$ | beta 函数 | $\displaystyle\operatorname{B}(z, w)=\int\limits_0^1 t^{z-1}(1-t)^{w-1}\mathrm{d}t\quad (\operatorname{Re} z>0$，$\operatorname{Re} w>0)$; |
| $\operatorname{B}(z, w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$; | |||
| $\dfrac{1}{(n+1)\operatorname{B}(k+1, n-k+1)}=\dbinom{n}{k}$. |
$\dfrac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(x_1, \dots, x_n)}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\vdots&\ddots&\vdots\\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}$; 矩阵的定义参见 n12.1 ↩
$\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\vdots&\ddots&\vdots\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ↩
$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\vdots& &\vdots\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ ↩