docs/graph/shortest-path.md
author: du33169, lingkerio, Taoran-01
（还记得这些定义吗？在阅读下列内容之前，请务必了解 图论相关概念 中的基础部分．）
为了方便叙述，这里先给出下文将会用到的一些记号的含义．
对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点．
对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边．
对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 $n$，边数不会超过 $n-1$．
是用来求任意两个结点之间的最短路的．
复杂度比较高，但是常数小，容易实现（只有三个 for）．
适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在．（不能有个负环）
我们定义一个数组 f[k][x][y]，表示只允许经过结点 $1$ 到 $k$（也就是说，在子图 $V'={1, 2, \ldots, k}$ 中的路径，注意，$x$ 与 $y$ 不一定在这个子图中），结点 $x$ 到结点 $y$ 的最短路长度．
很显然，f[n][x][y] 就是结点 $x$ 到结点 $y$ 的最短路长度（因为 $V'={1, 2, \ldots, n}$ 即为 $V$ 本身，其表示的最短路径就是所求路径）．
接下来考虑如何求出 f 数组的值．
f[0][x][y]：$x$ 与 $y$ 的边权，或者 $0$，或者 $+\infty$（f[0][x][y] 什么时候应该是 $+\infty$？当 $x$ 与 $y$ 间有直接相连的边的时候，为它们的边权；当 $x = y$ 的时候为零，因为到本身的距离为零；当 $x$ 与 $y$ 没有直接相连的边的时候，为 $+\infty$）．
f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])（f[k-1][x][y]，为不经过 $k$ 点的最短路径，而 f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y]，为经过了 $k$ 点的最短路）．
上面两行都显然是对的，所以说这个做法空间是 $O(N^3)$，我们需要依次增加问题规模（$k$ 从 $1$ 到 $n$），判断任意两点在当前问题规模下的最短路．
=== "C++"
cpp for (k = 1; k <= n; k++) { for (x = 1; x <= n; x++) { for (y = 1; y <= n; y++) { f[k][x][y] = min(f[k - 1][x][y], f[k - 1][x][k] + f[k - 1][k][y]); } } }
=== "Python"
python for k in range(1, n + 1): for x in range(1, n + 1): for y in range(1, n + 1): f[k][x][y] = min(f[k - 1][x][y], f[k - 1][x][k] + f[k - 1][k][y])
因为第一维对结果无影响，我们可以发现数组的第一维是可以省略的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y])．
???+ note "证明第一维对结果无影响"
对于给定的 k，当更新 f[k][x][y] 时，涉及的元素总是来自 f[k-1] 数组的第 k 行和第 k 列．然后我们可以发现，对于给定的 k，当更新 f[k][k][y] 或 f[k][x][k]，总是不会发生数值更新，因为按照公式 f[k][k][y] = min(f[k-1][k][y], f[k-1][k][k]+f[k-1][k][y]),f[k-1][k][k] 为 0，因此这个值总是 f[k-1][k][y]，对于 f[k][x][k] 的证明类似．
因此，如果省略第一维，在给定的 `k` 下，每个元素的更新中使用到的元素都没有在这次迭代中更新，因此第一维的省略并不会影响结果．
=== "C++"
cpp for (k = 1; k <= n; k++) { for (x = 1; x <= n; x++) { for (y = 1; y <= n; y++) { f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k] + f[k][y]); } } }
=== "Python"
python for k in range(1, n + 1): for x in range(1, n + 1): for y in range(1, n + 1): f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k] + f[k][y])
综上时间复杂度是 $O(N^3)$，空间复杂度是 $O(N^2)$．
???+ question "给一个正权无向图，找一个最小权值和的环．" 首先这一定是一个简单环．
想一想这个环是怎么构成的．
考虑环上编号最大的结点 $u$．
`f[u-1][x][y]` 和 $(u,x)$,$(u,y)$ 共同构成了环．
在 Floyd 的过程中枚举 $u$，计算这个和的最小值即可．
时间复杂度为 $O(n^3)$．
更多参见 [最小环](./min-cycle.md) 部分内容．
???+ question "已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通．" 该问题即是求 图的传递闭包．
我们只需要按照 Floyd 的过程，逐个加入点判断一下．
只是此时的边的边权变为 $1/0$，而取 $\min$ 变成了 **或** 运算．
再进一步用 bitset 优化，复杂度可以到 $O(\frac{n^3}{w})$．
```cpp
// std::bitset<SIZE> f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
for (i = 1; i <= n; i++)
if (f[i][k]) f[i] = f[i] | f[k];
```
Bellman–Ford 算法是一种基于松弛（relax）操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进行判断．
在国内 OI 界，你可能听说过的「SPFA」，就是 Bellman–Ford 算法的一种实现．
先介绍 Bellman–Ford 算法要用到的松弛操作（Dijkstra 算法也会用到松弛操作）．
对于边 $(u,v)$，松弛操作对应下面的式子：$dis(v) = \min(dis(v), dis(u) + w(u, v))$．
这么做的含义是显然的：我们尝试用 $S \to u \to v$（其中 $S \to u$ 的路径取最短路）这条路径去更新 $v$ 点最短路的长度，如果这条路径更优，就进行更新．
Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛．我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止．
每次循环是 $O(m)$ 的，那么最多会循环多少次呢？
在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$，而最短路的边数最多为 $n-1$，因此整个算法最多执行 $n-1$ 轮松弛操作．故总时间复杂度为 $O(nm)$．
但还有一种情况，如果从 $S$ 点出发，抵达一个负环时，松弛操作会无休止地进行下去．注意到前面的论证中已经说明了，对于最短路存在的图，松弛操作最多只会执行 $n-1$ 轮，因此如果第 $n$ 轮循环时仍然存在能松弛的边，说明从 $S$ 点出发，能够抵达一个负环．
???+ warning "负环判断中存在的常见误区" 需要注意的是，以 $S$ 点为源点跑 Bellman–Ford 算法时，如果没有给出存在负环的结果，只能说明从 $S$ 点出发不能抵达一个负环，而不能说明图上不存在负环．
因此如果需要判断整个图上是否存在负环，最严谨的做法是建立一个超级源点，向图上每个节点连一条权值为 0 的边，然后以超级源点为起点执行 Bellman–Ford 算法．
??? note "参考实现" === "C++" ```cpp struct Edge { int u, v, w; };
vector<Edge> edge;
int dis[MAXN], u, v, w;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;
bool bellmanford(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));
dis[s] = 0;
bool flag = false; // 判断一轮循环过程中是否发生松弛操作
for (int i = 1; i <= n; i++) {
flag = false;
for (int j = 0; j < edge.size(); j++) {
u = edge[j].u, v = edge[j].v, w = edge[j].w;
if (dis[u] == INF) continue;
// 无穷大与常数加减仍然为无穷大
// 因此最短路长度为 INF 的点引出的边不可能发生松弛操作
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
flag = true;
}
}
// 没有可以松弛的边时就停止算法
if (!flag) {
break;
}
}
// 第 n 轮循环仍然可以松弛时说明 s 点可以抵达一个负环
return flag;
}
```
=== "Python"
```python
class Edge:
def __init__(self, u=0, v=0, w=0):
self.u = u
self.v = v
self.w = w
INF = 0x3F3F3F3F
edge = []
def bellmanford(n, s):
dis = [INF] * (n + 1)
dis[s] = 0
for i in range(1, n + 1):
flag = False
for e in edge:
u, v, w = e.u, e.v, e.w
if dis[u] == INF:
continue
# 无穷大与常数加减仍然为无穷大
# 因此最短路长度为 INF 的点引出的边不可能发生松弛操作
if dis[v] > dis[u] + w:
dis[v] = dis[u] + w
flag = True
# 没有可以松弛的边时就停止算法
if not flag:
break
# 第 n 轮循环仍然可以松弛时说明 s 点可以抵达一个负环
return flag
```
即 Shortest Path Faster Algorithm．
很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作．
很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作．
那么我们用队列来维护「哪些结点可能会引起松弛操作」，就能只访问必要的边了．
SPFA 也可以用于判断 $s$ 点是否能抵达一个负环，只需记录最短路经过了多少条边，当经过了至少 $n$ 条边时，说明 $s$ 点可以抵达一个负环．
??? note "实现" === "C++" ```cpp struct edge { int v, w; };
vector<edge> e[MAXN];
int dis[MAXN], cnt[MAXN], vis[MAXN];
queue<int> q;
bool spfa(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));
dis[s] = 0, vis[s] = 1;
q.push(s);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop(), vis[u] = 0;
for (auto ed : e[u]) {
int v = ed.v, w = ed.w;
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
cnt[v] = cnt[u] + 1; // 记录最短路经过的边数
if (cnt[v] >= n) return false;
// 在不经过负环的情况下，最短路至多经过 n - 1 条边
// 因此如果经过了多于 n 条边，一定说明经过了负环
if (!vis[v]) q.push(v), vis[v] = 1;
}
}
}
return true;
}
```
=== "Python"
```python
from collections import deque
class Edge:
def __init__(self, v=0, w=0):
self.v = v
self.w = w
e = [[Edge() for i in range(MAXN)] for j in range(MAXN)]
INF = 0x3F3F3F3F
def spfa(n, s):
dis = [INF] * (n + 1)
cnt = [0] * (n + 1)
vis = [False] * (n + 1)
q = deque()
dis[s] = 0
vis[s] = True
q.append(s)
while q:
u = q.popleft()
vis[u] = False
for ed in e[u]:
v, w = ed.v, ed.w
if dis[v] > dis[u] + w:
dis[v] = dis[u] + w
cnt[v] = cnt[u] + 1 # 记录最短路经过的边数
if cnt[v] >= n:
return False
# 在不经过负环的情况下，最短路至多经过 n - 1 条边
# 因此如果经过了多于 n 条边，一定说明经过了负环
if not vis[v]:
q.append(v)
vis[v] = True
```
虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为 $O(nm)$，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman–Ford 算法无法通过的数据范围）．
???+ note "Bellman–Ford 的其他优化" 除了队列优化（SPFA）之外，Bellman–Ford 还有其他形式的优化，这些优化在部分图上效果明显，但在某些特殊图上，最坏复杂度可能达到指数级．
- 堆优化：将队列换成堆，与 Dijkstra 的区别是允许一个点多次入队．在有负权边的图可能被卡成指数级复杂度．
- 栈优化：将队列换成栈（即将原来的 BFS 过程变成 DFS），在寻找负环时可能具有更高效率，但最坏时间复杂度仍然为指数级．
- LLL 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队内距离平均值比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首．
- SLF 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首．
- D´Esopo–Pape 算法：将普通队列换成双端队列，如果一个节点之前没有入队，则将其插入队尾，否则插入队首．
更多优化以及针对这些优化的 Hack 方法，可以看 [fstqwq 在知乎上的回答](https://www.zhihu.com/question/292283275/answer/484871888)．
Dijkstra（/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/）算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现，1959 年公开发表．是一种求解 非负权图 上单源最短路径的算法．
将结点分成两个集合：已确定最短路长度的点集（记为 $S$ 集合）的和未确定最短路长度的点集（记为 $T$ 集合）．一开始所有的点都属于 $T$ 集合．
初始化 $dis(s)=0$，其他点的 $dis$ 均为 $+\infty$．
然后重复这些操作：
直到 $T$ 集合为空，算法结束．
朴素的实现方法为每次 2 操作执行完毕后，直接在 $T$ 集合中暴力寻找最短路长度最小的结点．2 操作总时间复杂度为 $O(m)$，1 操作总时间复杂度为 $O(n^2)$，全过程的时间复杂度为 $O(n^2 + m) = O(n^2)$．
可以用堆来优化这一过程：每成功松弛一条边 $(u,v)$，就将 $v$ 插入堆中（如果 $v$ 已经在堆中，直接执行 Decrease-key），1 操作直接取堆顶结点即可．共计 $O(m)$ 次 Decrease-key，$O(n)$ 次 pop，选择不同堆可以取到不同的复杂度，参考 堆 页面．堆优化能做到的最优复杂度为 $O(n\log n+m)$，能做到这一复杂度的有斐波那契堆等．
特别地，可以使用优先队列维护，此时无法执行 Decrease-key 操作，但可以通过每次松弛时重新插入该结点，且弹出时检查该结点是否已被松弛过，若是则跳过，复杂度 $O(m\log n)$，优点是实现较简单．
这里的堆也可以用线段树来实现，复杂度为 $O(m\log n)$，在一些特殊的非递归线段树实现下，该做法常数比堆更小．并且线段树支持的操作更多，在一些特殊图问题上只能用线段树来维护．
在稀疏图中，$m = O(n)$，堆优化的 Dijkstra 算法具有较大的效率优势；而在稠密图中，$m = O(n^2)$，这时候使用朴素实现更优．
下面用数学归纳法证明，在 所有边权值非负 的前提下，Dijkstra 算法的正确性1．
简单来说，我们要证明的，就是在执行 1 操作时，取出的结点 $u$ 最短路均已经被确定，即满足 $D(u) = dis(u)$．
初始时 $S = \varnothing$，假设成立．
接下来用反证法．
设 $u$ 点为算法中第一个在加入 $S$ 集合时不满足 $D(u) = dis(u)$ 的点．因为 $s$ 点一定满足 $D(u)=dis(u)=0$，且它一定是第一个加入 $S$ 集合的点，因此将 $u$ 加入 $S$ 集合前，$S \neq \varnothing$，如果不存在 $s$ 到 $u$ 的路径，则 $D(u) = dis(u) = +\infty$，与假设矛盾．
于是一定存在路径 $s \to x \to y \to u$，其中 $y$ 为 $s \to u$ 路径上第一个属于 $T$ 集合的点，而 $x$ 为 $y$ 的前驱结点（显然 $x \in S$）．需要注意的是，可能存在 $s = x$ 或 $y = u$ 的情况，即 $s \to x$ 或 $y \to u$ 可能是空路径．
因为在 $u$ 结点之前加入的结点都满足 $D(u) = dis(u)$，所以在 $x$ 点加入到 $S$ 集合时，有 $D(x) = dis(x)$，此时边 $(x,y)$ 会被松弛，从而可以证明，将 $u$ 加入到 $S$ 时，一定有 $D(y)=dis(y)$．
下面证明 $D(u) = dis(u)$ 成立．在路径 $s \to x \to y \to u$ 中，因为图上所有边边权非负，因此 $D(y) \leq D(u)$．从而 $dis(y) = D(y) \leq D(u)\leq dis(u)$．但是因为 $u$ 结点在 1 过程中被取出 $T$ 集合时，$y$ 结点还没有被取出 $T$ 集合，因此此时有 $dis(u)\leq dis(y)$，从而得到 $dis(y) = D(y) = D(u) = dis(u)$，这与 $D(u)\neq dis(u)$ 的假设矛盾，故假设不成立．
因此我们证明了，1 操作每次取出的点，其最短路均已经被确定．命题得证．
注意到证明过程中的关键不等式 $D(y) \leq D(u)$ 是在图上所有边边权非负的情况下得出的．当图上存在负权边时，这一不等式不再成立，Dijkstra 算法的正确性将无法得到保证，算法可能会给出错误的结果．
这里同时给出 $O(n^2)$ 的暴力做法实现和 $O(m \log m)$ 的优先队列做法实现．
???+ note "朴素实现" === "C++" ```cpp struct edge { int v, w; };
vector<edge> e[MAXN];
int dis[MAXN], vis[MAXN];
void dijkstra(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));
dis[s] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int u = 0, mind = 0x3f3f3f3f;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!vis[j] && dis[j] < mind) u = j, mind = dis[j];
vis[u] = true;
for (auto ed : e[u]) {
int v = ed.v, w = ed.w;
if (dis[v] > dis[u] + w) dis[v] = dis[u] + w;
}
}
}
```
=== "Python"
```python
class Edge:
def __init(self, v=0, w=0):
self.v = v
self.w = w
e = [[Edge() for i in range(MAXN)] for j in range(MAXN)]
INF = 0x3F3F3F3F
def dijkstra(n, s):
dis = [INF] * (n + 1)
vis = [0] * (n + 1)
dis[s] = 0
for i in range(1, n + 1):
u = 0
mind = INF
for j in range(1, n + 1):
if not vis[j] and dis[j] < mind:
u = j
mind = dis[j]
vis[u] = True
for ed in e[u]:
v, w = ed.v, ed.w
if dis[v] > dis[u] + w:
dis[v] = dis[u] + w
```
???+ note "优先队列实现" === "C++" ```cpp struct edge { int v, w; };
struct node {
int dis, u;
bool operator>(const node& a) const { return dis > a.dis; }
};
vector<edge> e[MAXN];
int dis[MAXN], vis[MAXN];
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
void dijkstra(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));
memset(vis, 0, (n + 1) * sizeof(int));
dis[s] = 0;
q.push({0, s});
while (!q.empty()) {
int u = q.top().u;
q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (auto ed : e[u]) {
int v = ed.v, w = ed.w;
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
q.push({dis[v], v});
}
}
}
}
```
=== "Python"
```python
def dijkstra(e, s):
"""
输入：
e:邻接表
s:起点
返回：
dis:从s到每个顶点的最短路长度
"""
dis = defaultdict(lambda: float("inf"))
dis[s] = 0
q = [(0, s)]
vis = set()
while q:
_, u = heapq.heappop(q)
if u in vis:
continue
vis.add(u)
for v, w in e[u]:
if dis[v] > dis[u] + w:
dis[v] = dis[u] + w
heapq.heappush(q, (dis[v], v))
return dis
```
Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法．该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出．
任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 $n$ 次 Bellman–Ford 算法解决，时间复杂度是 $O(n^2m)$ 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 $O(n^3)$．
注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman–Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O(nm\log m)$（取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman–Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀．
但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负．
一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 $x$，从而让所有边的边权均非负．如果新图上起点到终点的最短路经过了 $k$ 条边，则将最短路减去 $kx$ 即可得到实际最短路．
但这样的方法是错误的．考虑下图：
$1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 5 \to 3 \to 2$，长度为 $−2$．
但假如我们把每条边的边权加上 $5$ 呢？
新图上 $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 4 \to 2$，已经不是实际的最短路了．
Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权．
我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 $0$）．从这个点向其他所有点连一条边权为 $0$ 的边．
接下来用 Bellman–Ford 算法求出从 $0$ 号点到其他所有点的最短路，记为 $h_i$．
假如存在一条从 $u$ 点到 $v$ 点，边权为 $w$ 的边，则我们将该边的边权重新设置为 $w+h_u-h_v$．
接下来以每个点为起点，跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了．
一开始的 Bellman–Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 priority_queue 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 $O(nm\log m)$．
为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？
在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能．
诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关．
势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的．
接下来回到正题．
在重新标记后的图上，从 $s$ 点到 $t$ 点的一条路径 $s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t$ 的长度表达式如下：
$(w(s,p_1)+h_s-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)$
化简后得到：
$w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t$
无论我们从 $s$ 到 $t$ 走的是哪一条路径，$h_s-h_t$ 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！
为了方便，下面我们就把 $h_i$ 称为 $i$ 点的势能．
上面的新图中 $s \to t$ 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 $s \to t$ 的最短路，后面则是两点间的势能差．因为两点间势能的差为定值，因此原图上 $s \to t$ 的最短路与新图上 $s \to t$ 的最短路相对应．
到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径．接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果．
根据三角形不等式，图上任意一边 $(u,v)$ 上两点满足：$h_v \leq h_u + w(u,v)$．这条边重新标记后的边权为 $w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0$．这样我们证明了新图上的边权均非负．
这样，我们就证明了 Johnson 算法的正确性．
| 最短路算法 | Floyd | Bellman–Ford | Dijkstra | Johnson |
|---|---|---|---|---|
| 最短路类型 | 每对结点之间的最短路 | 单源最短路 | 单源最短路 | 每对结点之间的最短路 |
| 作用于 | 任意图 | 任意图 | 非负权图 | 任意图 |
| 能否检测负环？ | 能 | 能 | 不能 | 能 |
| 时间复杂度 | $O(N^3)$ | $O(NM)$ | $O(M\log M)$ | $O(NM\log M)$ |
注：表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 priority_queue 实现．
开一个 pre 数组，在更新距离的时候记录下来后面的点是如何转移过去的，算法结束前再递归地输出路径即可．
比如 Floyd 就要记录 pre[i][j] = k;，Bellman–Ford 和 Dijkstra 一般记录 pre[v] = u．
《算法导论（第 3 版中译本）》，机械工业出版社，2013 年，第 384 - 385 页． ↩