Flow

本页面主要介绍网络流相关的基本知识．

概述

网络（network）是指一个特殊的有向图 $G=(V,E)$，其与一般有向图的不同之处在于有容量和源汇点．

• $E$ 中的每条边 $(u, v)$ 都有一个被称为容量（capacity）的权值，记作 $c(u, v)$．当 $(u,v)\notin E$ 时，可以假定 $c(u,v)=0$．

• $V$ 中有两个特殊的点：源点（source）$s$ 和汇点（sink）$t$（$s \neq t$）．

对于网络 $G=(V, E)$，流（flow）是一个从边集 $E$ 到整数集或实数集的函数，其满足以下性质．

1. 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 $0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)$；
2. 流守恒性：除源汇点外，任意结点 $u$ 的净流量为 $0$．其中，我们定义 $u$ 的净流量为 $f(u) = \sum_{x \in V} f(u, x) - \sum_{x \in V} f(x, u)$．

对于网络 $G = (V, E)$ 和其上的流 $f$，我们定义 $f$ 的流量 $|f|$ 为 $s$ 的净流量 $f(s)$．作为流守恒性的推论，这也等于 $t$ 的净流量的相反数 $-f(t)$．

对于网络 $G = (V, E)$，如果 ${S, T}$ 是 $V$ 的划分（即 $S \cup T = V$ 且 $S \cap T = \varnothing$），且满足 $s \in S, t \in T$，则我们称 ${S, T}$ 是 $G$ 的一个 $s$-$t$ 割（cut）．我们定义 $s$-$t$ 割 ${S, T}$ 的容量为 $||S, T|| = \sum_{u \in S} \sum_{v \in T} c(u, v)$．

常见问题

常见的网络流问题包括但不限于以下类型问题．

• 最大流问题：对于网络 $G = (V, E)$，给每条边指定流量，得到合适的流 $f$，使得 $f$ 的流量尽可能大．此时我们称 $f$ 是 $G$ 的最大流．
• 最小割问题：对于网络 $G = (V, E)$，找到合适的 $s$-$t$ 割 ${S, T}$，使得 ${S, T}$ 的总容量尽可能小．此时我们称 ${S, T}$ 的总容量是 $G$ 的最小割．
• 最小费用最大流问题：在网络 $G = (V, E)$ 上，对每条边给定一个权值 $w(u, v)$，称为费用（cost），含义是单位流量通过 $(u, v)$ 所花费的代价．对于 $G$ 所有可能的最大流，我们称其中总费用最小的一者为最小费用最大流．

我们将在稍后的章节中对它们进行详细介绍．

例题：网络流 24 题

网络流 24 题是中文互联网上广泛流传的一个题单（LibreOJ/洛谷），至少在 2010 年前后就已经存在．该题单引入了一些经典的将其他问题建模为网络流问题的技巧．由于时代的局限性，这些问题未必是最具代表性的网络流问题，但仍值得有志于算法竞赛的读者一阅．