docs/graph/connectivity.md
author: jifbt, Mayuri0v0
以下内容的定义，请参见 图论相关概念：
Whitney 不等式（1932）给出了点连通度 $\kappa$、边连通度 $\lambda$ 和最小度 $\delta$ 之间的关系：
$$ \kappa \le \lambda \le \delta $$
???+ note "证明" 直觉上，如果有一个大小为 $\lambda$ 的边割集，其中每一条边任选一个端点，就可以得到一个大小为 $\lambda$ 的点割集，所以第一个不等式成立．
与度最小的结点（如有多个，任选一个）相邻的所有边构成大小为 $\delta$ 的边割集，所以第二个不等式也成立．
这个不等式不能改进；换言之，对每个满足它的三元组，均可以找出满足这个三元组的图．
???+ note "构造" 把两个大小为 $\delta + 1$ 的团用 $\lambda$ 条边连起来，使两个团分别有 $\lambda$ 和 $\kappa$ 个不同的结点被连在这些边上．
由 最大流最小割定理（又名 Ford–Fulkerson 定理）可推出，两点间的不相交（指两两没有公共边）路径的最大数量等于割集的最小大小（这个推论又叫 Menger 定理——译者注）．
以下图的边权均为 $1$．
枚举点对 $(s, t)$，以 $s$ 为源点，$t$ 为汇点跑边权为 $1$ 的最大流．需要 $O(n^2)$ 次最大流，如果使用 Edmonds–Karp 算法，复杂度为 $O(|V|^3 |E|^2)$．使用 Dinic 算法可以更优，复杂度为 $O(|V|^2 |E| \min(|V|^{2/3}, |E|^{1/2}))$．
使用 Stoer–Wagner 算法 只需跑一次无源汇最小割即可．复杂度为 $O(|V||E| + |V|^{2}\log|V|)$，一般可近似看作 $O(|V|^3)$．
仍然枚举点对，这次把每个非源汇的点 $x$ 拆成两个点 $x_1$ 和 $x_2$，并连边 $(x_1, x_2)$．把原图中所有边 $(u, v)$ 换成两条边 $(u_2, v_1)$ 和 $(v_2, u_1)$．此时最大流等于 $s$、$t$ 之间的最小点割集大小（又称局部点连通度）．复杂度与用最大流计算边连通度相同．
本页面译自博文 Рёберная связность. Свойства и нахождение、Вершинная связность. Свойства и нахождение 与其英文翻译版 Edge connectivity/Vertex connectivity．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．