Color

首先，$n\leq 3$ 时，命题显然成立．

接下来，假设对于 $n-1$ 时的命题成立，下面我们要逐步强化命题．

不妨只考虑 $\Delta(G)$- 正则图，因为对于非正则图来说，可以看作在正则图里删去一些边构成的，而这一过程并不会影响结论．

对于任意不是完全图也不是奇圈的正则图 G，任取其中一点 v，考虑子图 $H:=G-v$，由归纳假设知 $\chi(H)\leq\Delta(H)=\Delta(G)$，接下来我们只需证明在 H 中插入 v 不会影响结论即可．

令 $\Delta:=\Delta(G)$，设 H 染的 $\Delta$ 种颜色分别为 $c_1,c_2,\dots,c_{\Delta}$，v 的 $\Delta$ 个邻接点为 $v_1,v_1,\dots,v_{\Delta}$．不妨假设 v 的这些邻接点颜色两两不同，否则命题得证．

接下来我们设所有在 H 中染成 $c_i$ 或 $c_j$ 的点以及它们之间的所有边构成子图 $H_{i,j}$．不妨假设任意 2 个不同的点 $v_i$，$v_j$ 一定在 $H_{i,j}$ 的同一个连通分量中，否则若在两个连通分量中的话，可以交换其中一个连通分量所有点的颜色，从而 $v_i$，$v_j$ 颜色相同．

> 这里的交换颜色指的是若图中只有两种颜色 a，b，那么把图中原来染成颜色 a 的点全部染成颜色 b，把图中原来染成颜色 b 的点全部染成颜色 a．

我们设上述连通分量为 $C_{i,j}$，那么 $C_{i,j}$ 一定只能是 $v_i$ 到 $v_j$ 的路．因为 $v_i$ 在 H 中的度为 $\Delta-1$，所以 $v_i$ 在 H 中的邻接点颜色一定两两不同，否则可以给 $v_i$ 染别的颜色，从而和 v 的其他邻接点颜色重复，所以 $v_i$ 在 $C_{i,j}$ 中邻接点数量为 1，$v_j$ 同理．然后我们在 $C_{i,j}$ 中取一条 $v_i$ 到 $v_j$ 的路，令其为 P，若 $C_{i,j}\ne P$，那么我们沿着 P 顺次给路上的点染色，设遇到的第一个度数大于 2 的点为 u，注意到 u 的邻接点最多只用了 $\Delta-2$ 种颜色，所以 u 可以重新染色，从而使 $v_i$，$v_j$ 不连通．

然后我们不难发现，对任意 3 个不同的点 $v_i$，$v_j$，$v_k$，$V(C_{i,j})\cap V(C_{j,k})=\{v_j\}$．

到这里我们对命题的强化工作就已经做完了．

接下来就很简单．首先，如果 v 的邻接点两两相邻，那么命题得证．不妨设 $v_1$，$v_2$ 不相邻，在 $C_{1,2}$ 中取 $v_1$ 的邻接点 w，交换 $C_{1,3}$ 中的颜色．得到的新图中，$w\in V(C_{1,2})\cap V(C_{2,3})$，矛盾．

至此命题证明完毕．

$\deg(v_i)\geq\deg(v_{i+1}),~\forall 1\leq i\leq n-1$

令 $V_0=\varnothing$, 我们取 $V(G)\setminus\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i$ 中的子集 $V_m$, 其中的元素满足

1.  $v_{k_m}\in V_m$, 其中 $k_m=\min\{k:v_k\notin\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i\}$
2.  若

    $\{v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}\}\subset V_m,~i_{m,1}<i_{m,2}<\dots<i_{m,l_m}$

    则 $v_j\in V_m$ 当且仅当

    1.  $j>i_{m,l_m}$
    2.  $v_j$ 与 $v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}$ 均不相邻

显然若将 $V_i$ 中的点染成第 i 种颜色，则该染色方案即为 Welsh–Powell 算法给出的方案，显然有

-   $V_1\neq\varnothing$
-   $V_i\cap V_j=\varnothing\iff i\neq j$
-   $\exists \alpha(G)\in\Bbb{N}^*,\forall i>\alpha(G),~s.t.~ V_i=\varnothing$

我们只需要证明：

$\bigcup_{i=1}^{\alpha(G)} V_i=V(G)$

其中

$\chi(G)\leq\alpha(G)\leq\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}$

上式左边的不等号显然成立，我们考虑右边．

首先我们不难得出：

若 $v\notin\bigcup_{i=1}^mV_i$，则 v 与 $V_1,V_2,\dots,V_m$ 中分别至少有一个点相邻，从而有 $\deg(v)\geq m$

进而

$v_j\in\bigcup_{i=1}^{\deg(v_j)+1}V_i$

另一方面，基于序列 $\{V_i\}$ 的构造方法，我们不难发现

$v_j\in\bigcup_{i=1}^j V_i$

两式结合即得证．

我们在尝试加入边 $(x,y)$ 的时候，我们尝试寻找对于 $x$ 和 $y$ 的编号最小的尚未被使用过的颜色，假设分别为 $l_x$ 和 $l_y$．

如果 $l_x=l_y$ 此时我们可以直接将这条边的颜色设置为 $l_x$．

否则假设 $l_x<l_y$, 我们可以尝试将节点 $y$ 连出去的颜色为 $l_x$ 的边的颜色修改为 $l_y$．

修改的过程可以被近似的看成是一条从 $y$ 出发，依次经过颜色为 $l_x,l_y,\cdots$ 的边的有限唯一增广路．

因为增广路有限所以我们可以将增广路上所有的边反色，即原来颜色为 $l_x$ 的修改为 $l_y$，原来颜色为 $l_y$ 的修改为 $l_x$．

根据二分图的性质，节点 $x$ 不可能为增广路节点，否则与最小未使用颜色为 $l_x$ 矛盾．

所以我们可以在增广之后直接将连接 $x$ 和 $y$ 的边的颜色设为 $l_x$．

总构造时间复杂度为 $O(nm)$．

首先我们可以发现答案下界为度数不为 k 倍数的点的个数．

下界的构造方法是对二分图进行拆点．

若 $degree \bmod k \neq 0$, 我们将其拆为 $degree/k$ 个度数为 k 的节点和一个度数为 $degree \bmod k$ 的节点．

若 $degree \bmod k = 0$, 我们将其拆为 $degree/k$ 个度数为 k 的节点．

拆出来的点在原图中的意义相同，也就是说，在满足度数限制的情况下，一条边端点可以连接任意一个拆出来的点．

根据 Vizing 定理，我们显然可以构造出该图的一种 k 染色方案．

删边部分由于和 Vizing 定理关系不大这里不再展开．

有兴趣的读者可以自行阅读笔者当时写的题解．