Queue

本页面介绍和队列有关的数据结构及其应用．

引入

队列（queue）是一种具有「先进入队列的元素一定先出队列」性质的表．由于该性质，队列通常也被称为先进先出（first in first out）表，简称 FIFO 表．

实现

数组模拟队列

通常用一个数组模拟一个队列，用两个变量标记队列的首尾．

cpp

int q[SIZE], ql = 1, qr;

队列操作对应的代码如下：

插入元素：q[++qr] = x;
删除元素：ql++;
访问队首：q[ql]
访问队尾：q[qr]
清空队列：ql = 1; qr = 0;

??? example "Luogu B3616【模板】队列数组模拟参考实现" cpp --8<-- "docs/ds/code/queue/queue_1.cpp"

双栈模拟队列

还有一种冷门的方法是使用两个栈来模拟一个队列．

这种方法使用两个栈 $F$ 和 $S$ 模拟一个队列，其中 $F$ 是队尾的栈，$S$ 代表队首的栈，支持 push（在队尾插入），pop（在队首弹出）操作：

push：插入到栈 $F$ 中．
pop：如果 $S$ 非空，让 $S$ 弹栈；否则把 $F$ 的元素倒过来压到 $S$ 中（其实就是一个一个弹出插入，做完后是首尾颠倒的），然后再让 $S$ 弹栈．

容易证明，每个元素只会进入/转移/弹出一次，均摊复杂度 $O(1)$．

??? example "Luogu B3616【模板】队列双栈模拟参考实现" cpp --8<-- "docs/ds/code/queue/queue_2.cpp"

C++ STL 中的队列

C++ 在 STL 中提供了一个容器 std::queue，使用前需要先引入 <queue> 头文件．

???+ info "STL 中对 queue 的定义" cpp // clang-format off template< class T, class Container = std::deque<T> > class queue;

`T` 为 queue 中要存储的数据类型．

`Container` 为用于存储元素的底层容器类型．这个容器必须提供通常语义的下列函数：

-   `back()`
-   `front()`
-   `push_back()`
-   `pop_front()`

STL 容器 `std::deque` 和 `std::list` 满足这些要求．如果不指定，则默认使用 `std::deque` 作为底层容器．

STL 中的 queue 容器提供了一众成员函数以供调用．其中较为常用的有：

元素访问
- q.front() 返回队首元素
- q.back() 返回队尾元素
修改
- q.push() 在队尾插入元素
- q.pop() 弹出队首元素
容量
- q.empty() 队列是否为空
- q.size() 返回队列中元素的数量

此外，queue 还提供了一些运算符．较为常用的是使用赋值运算符 = 为 queue 赋值，示例：

cpp

std::queue<int> q1, q2;

// 向 q1 的队尾插入 1
q1.push(1);

// 将 q1 赋值给 q2
q2 = q1;

// 输出 q2 的队首元素
std::cout << q2.front() << std::endl;
// 输出: 1

特殊队列

双端队列

双端队列是指一个可以在队首/队尾插入或删除元素的队列．相当于是栈与队列功能的结合．具体地，双端队列支持的操作有 4 个：

在队首插入一个元素
在队尾插入一个元素
在队首删除一个元素
在队尾删除一个元素

数组模拟双端队列的方式与普通队列相同．

同样地，也可以使用双栈模拟队列的思想来维护双端队列，但需注意当某个栈为空时，交替查询队首和队尾将导致均摊分析失效．考虑在移动时，只将非空栈的一半元素移动到空栈中，并保持队首与队尾栈的性质，这样处理后仍可以做到均摊常数时间的插入和删除．

??? note "简要证明" 由于插入操作只贡献常数复杂度，现在考虑弹出操作．假设初始时队列中有 $m$ 个元素，下面我们计算将所有元素全部弹出（无论首尾）的时间复杂度．则第一次平衡的复杂度是 $O(m)$ 的．然后两个栈就各有 $\frac{m}{2}$ 个元素．这时就需要 $O(\frac{m}{2})$ 的时间清空其中一个栈，然后就又可以触发一次复杂度为 $O(\frac{m}{2})$ 的平衡操作，以此类推，直到所有元素被弹出．因此，这样做的总复杂度是

$$
T(m)=T\left(\frac{m}{2}\right)+O(m)
$$

根据主定理，解得 $T(m)=O(m)$．于是，这种维护方式的总复杂度仍是均摊常数的．

??? example "Luogu B3656【模板】双端队列 1 参考实现" cpp --8<-- "docs/ds/code/queue/queue_3.cpp"

C++ STL 中的双端队列

C++ 在 STL 中也提供了一个容器 std::deque，使用前需要先引入 <deque> 头文件．

??? info "STL 中对 deque 的定义" cpp // clang-format off template< class T, class Allocator = std::allocator<T> > class deque;

`T` 为 deque 中要存储的数据类型．

`Allocator` 为分配器，此处不做过多说明，一般保持默认即可．

STL 中的 deque 容器提供了一众成员函数以供调用．其中较为常用的有：

元素访问
- q.front() 返回队首元素
- q.back() 返回队尾元素
修改
- q.push_back() 在队尾插入元素
- q.pop_back() 弹出队尾元素
- q.push_front() 在队首插入元素
- q.pop_front() 弹出队首元素
- q.insert() 在指定位置前插入元素（传入迭代器和元素）
- q.erase() 删除指定位置的元素（传入迭代器）
容量
- q.empty() 队列是否为空
- q.size() 返回队列中元素的数量

此外，deque 还提供了一些运算符．其中较为常用的有：

使用赋值运算符 = 为 deque 赋值，类似 queue．
使用 [] 访问元素，类似 vector．

<queue> 头文件中还提供了优先队列 std::priority_queue，因其与堆更为相似，在此不作过多介绍．

Python 中的双端队列

在 Python 中，双端队列的容器由 collections.deque 提供．

示例如下：

???+ note "实现" ```python from collections import deque

# 新建一个 deque，并初始化内容为 [1, 2, 3]
queue = deque([1, 2, 3])

# 在队尾插入元素 4
queue.append(4)

# 在队首插入元素 0
queue.appendleft(0)

# 访问队列
# >>> queue
# deque([0, 1, 2, 3, 4])
```

循环队列

使用数组模拟队列会导致一个问题：随着时间的推移，整个队列会向数组的尾部移动，一旦到达数组的最末端，即使数组的前端还有空闲位置，再进行入队操作也会导致溢出（这种数组里实际有空闲位置而发生了上溢的现象被称为「假溢出」）．

解决假溢出的办法是采用循环的方式来组织存放队列元素的数组，即将数组下标为 0 的位置看做是最后一个位置的后继．（数组下标为 x 的元素，它的后继为 (x + 1) % SIZE）．这样就形成了循环队列．

引入

实现