docs/ds/pq-tree.md
author: isdanni,xyf007
PQ 树是一种基于树的数据结构，代表一组元素上的一系列排列，由 Kellogg S. Booth 和 George S. Lueker 于 1976 年发现命名，用来解决以下问题
给出 $m$ 个集合 $S_i$，你要找到一个 $1\sim n$ 的排列，使得每个集合内的元素都相邻．
PQ 树可以在 $O(n+\sum|S_i|)$ 时间内构建．本文中介绍的构建方法时间复杂度为 $O(nm)$．
PQ 树有三种结点：叶子结点、P 结点 和 Q 结点．其中叶子结点代表排列中的一个元素，P 结点表示它的子结点可以任意排列，Q 结点表示它的儿子顺序可以反转．所有非叶子结点都是 P 结点或 Q 结点中的一种．P 结点至少有 2 个儿子，Q 结点至少有 3 个儿子．
由于结点的定义，PQ 树本身代表了 所有的 合法方案，其先序遍历就是其中之一．
下图是一棵 PQ 树．
其先序遍历 1,2,3,4,5 代表了一个合法方案．如果 P 结点的儿子重排列为 4,2,3，我们得到了另一个合法方案 1,4,2,3,5．保持 P 结点儿子顺序不变，Q 结点的儿子顺序反转，得到了另一个合法方案 5,3,2,4,1．
PQ 树使用儿子 - 兄弟表示法．
我们增量构建一棵 PQ 树．
首先建立一棵树，其根为 P，总共 $n$ 个儿子，分别是 $1,2,\ldots,n$，代表没有任何限制时的 PQ 树．随着限制的不断加入，我们不断修改这棵树．
当加入一个新的限制集合 $S$ 时，我们把所有属于这个集合的叶子结点标记为 黑色，不在这个集合内的叶子结点标记为 白色．对于所有非叶子结点，如果其所有儿子均为黑色，将其也标记为黑色；如果其所有儿子均为白色，将其也标记为白色；否则将其标记为 灰色．在下面的图中，黑色结点、白色结点、灰色结点分别用黑色、灰色、一半黑一半灰来表示．
我们要求 PQ 树中的结点按照颜色排序．
包含所有黑色结点的最小子树被称为 相关子树，相关子树的根（不一定是整棵树的根）被称为 相关根．
添加一个限制的过程被称为 reduction．一次 reduction 分为两个阶段：冒泡阶段和减少阶段．
冒泡阶段只处理相关子树．我们将相关子树中的所有结点标记为黑色或灰色，并为每个结点计算其拥有的相关子结点数量．为了高效地完成这个过程，我们从叶子往根处理相关子树．这需要记录每个点的父亲结点，但在减少阶段一个点的父亲结点经常要被修改．为了在线性时间内构造，只有 P 结点的儿子和 Q 结点的最后一个儿子 始终记录正确的父亲结点．对于 Q 结点的其他儿子，在冒泡阶段用最后一个儿子的父亲更新他们的父亲．
当遇到一个中间的结点时，我们看一下它的兄弟是否已经有合法的父亲结点．如果没有，将其标记为 阻塞 的．如果后面它的兄弟有了合法的父亲，那么修改这个结点的父亲并且取消标记．如果在冒泡阶段结束时，仍然有一段连续的阻塞结点（如下面的情况 Q3），一个没有父结点的「伪结点」成为该块的父结点，并在减少阶段时被去除．
减少阶段用一个队列来处理结点．首先将所有限制内的叶子结点加入队列．每次取出队首的结点 $u$ 并处理．如果 $u$ 的父亲也是相关子树内的结点，那么将 $\mathit{fa}_u$ 入队．
对于每一个结点 $u$，我们分情况讨论．如果不属于其中任何一种情况，则无解．
将 $u$ 标记为黑色．
如果所有儿子均为黑色，将 $u$ 标记为黑色．
如果 $u$ 有黑色儿子和白色儿子，且 $u$ 是相关根，那么新建一个 P 结点 $v$ 成为它所有黑色儿子的根．
如果 $u$ 有黑色儿子和白色儿子，且 $u$ 不是相关根，那么做以下操作：
注意到根据之前的定义，Q 结点至少有 3 个儿子，因此这里的 $u$ 被视为一个「伪结点」，并且将在后面被继续处理．
如果 $u$ 有一个灰色儿子 $p$，且 $u$ 是相关根，那么新建一个 P 结点 $v$ 作为其所有黑色儿子的根，将 $v$ 的兄弟设为 $p$ 最后一个一个黑色儿子，然后把 $v$ 设为 $p$ 的最后一个儿子．
如果 $u$ 有一个灰色儿子 $p$，且 $u$ 不是相关根，那么进行以下操作：
如果 $u$ 恰有两个灰色儿子 $p_1,p_2$，那么进行以下操作：
可以发现这样 $p_2$ 就被合并进了 $p_1$．
如果 $u$ 只有黑色儿子，那么将 $u$ 标记成黑色．（下面的图的形状错了．）
如果 $u$ 有一个灰色儿子 $p$，且所有标记相同的儿子均连续出现，那么进行如下操作：
如果 $u$ 恰有两个灰色儿子 $p_1,p_2$，且所有标记相同的儿子均连续出现，那么对 $p_1,p_2$ 都进行上一种操作即可．
该构建方法是原论文中的，但是实现较为不便．
目前 OI 中的实现大多采用该方法．其实方法类似，下面出现的情况基本都能在上面找到．
注意到根据之前的染色过程，所有黑色和白色的点都已经满足条件，因此我们 只需要处理灰色结点．
注意到我们会要求两个灰色节点白色全在左侧，黑色全在右侧（或相反），因此我们需要实现一个分裂函数 split，可以把这个子树的点分裂成黑白部分，并同时保留分裂成的子树的节点的 所有可能．
令要分裂的点为 $u$，我们想把 $u$ 分裂成左边全是白色，右边全是黑色的森林．如果 $u$ 不是灰色结点则直接返回子树．只考虑灰色结点的情况． 如果 $u$ 是 P 类结点：
如果 $u$ 是 Q 类结点：
最后把所有多余的结点（只有一个儿子的结点）删除．
class PQTree {
public:
PQTree() {}
void Init(int n) {
n_ = n, rt_ = tot_ = n + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) g_[rt_].emplace_back(i);
}
void Insert(const std::string &s) {
s_ = s;
Dfs0(rt_);
Work(rt_);
while (g_[rt_].size() == 1) rt_ = g_[rt_][0];
Remove(rt_);
}
std::vector<int> ans() {
DfsAns(rt_);
return ans_;
}
~PQTree() {}
private:
int n_, rt_, tot_, pool_[100001], top_, typ_[100001] /* 0-P 1-Q */,
col_[100001] /* 0-black 1-white 2-grey */;
std::vector<int> g_[100001], ans_;
std::string s_;
void Fail() {
std::cout << "NO\n";
std::exit(0);
}
int NewNode(int ty) {
int x = top_ ? pool_[top_--] : ++tot_;
typ_[x] = ty;
return x;
}
void Delete(int u) { g_[u].clear(), pool_[++top_] = u; }
void Dfs0(int u) { // get color of each node
if (u >= 1 && u <= n_) {
col_[u] = s_[u] == '1';
return;
}
bool c0 = false, c1 = false;
for (auto &&v : g_[u]) {
Dfs0(v);
if (col_[v]) c1 = true;
if (col_[v] != 1) c0 = true;
}
if (c0 && !c1)
col_[u] = 0;
else if (!c0 && c1)
col_[u] = 1;
else
col_[u] = 2;
}
bool Check(const std::vector<int> &v) {
int p2 = -1;
for (int i = 0; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
if (col_[v[i]] == 2) {
if (p2 != -1) return false;
p2 = i;
}
if (p2 == -1)
for (int i = 0; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
if (col_[v[i]]) {
p2 = i;
break;
}
for (int i = 0; i < p2; i++)
if (col_[v[i]]) return false;
for (int i = p2 + 1; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
if (col_[v[i]] != 1) return false;
return true;
}
std::vector<int> Split(int u) {
if (col_[u] != 2) return {u};
std::vector<int> ng;
if (typ_[u]) { // Q
if (!Check(g_[u])) {
std::reverse(g_[u].begin(), g_[u].end());
if (!Check(g_[u])) Fail();
}
for (auto &&v : g_[u])
if (col_[v] != 2) {
ng.emplace_back(v);
} else {
auto s = Split(v);
ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
}
} else { // P
std::vector<int> son[3];
for (auto &&x : g_[u]) son[col_[x]].emplace_back(x);
if (son[2].size() > 1) Fail();
if (!son[0].empty()) {
int n0 = NewNode(0);
g_[n0] = son[0];
ng.emplace_back(n0);
}
if (!son[2].empty()) {
auto s = Split(son[2][0]);
ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
}
if (!son[1].empty()) {
int n1 = NewNode(0);
g_[n1] = son[1];
ng.emplace_back(n1);
}
}
Delete(u);
return ng;
}
void Work(int u) {
if (col_[u] != 2) return;
if (typ_[u]) { // Q
int l = 1e9, r = -1e9;
for (int i = 0; i < static_cast<int>(g_[u].size()); i++)
if (col_[g_[u][i]]) checkmin(l, i), checkmax(r, i);
for (int i = l + 1; i < r; i++)
if (col_[g_[u][i]] != 1) Fail();
if (l == r && col_[g_[u][l]] == 2) {
Work(g_[u][l]);
return;
}
std::vector<int> ng;
for (int i = 0; i < l; i++) ng.emplace_back(g_[u][i]);
auto s = Split(g_[u][l]);
ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
for (int i = l + 1; i < r; i++) ng.emplace_back(g_[u][i]);
if (l != r) {
s = Split(g_[u][r]);
std::reverse(s.begin(), s.end());
ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
}
for (int i = r + 1; i < static_cast<int>(g_[u].size()); i++)
ng.emplace_back(g_[u][i]);
g_[u] = ng;
} else { // P
std::vector<int> son[3];
for (auto &&x : g_[u]) son[col_[x]].emplace_back(x);
if (son[1].empty() && son[2].size() == 1) {
Work(son[2][0]);
return;
}
g_[u].clear();
if (son[2].size() > 2) Fail();
g_[u] = son[0];
int n1 = NewNode(1);
g_[u].emplace_back(n1);
if (son[2].size() >= 1) {
auto s = Split(son[2][0]);
g_[n1].insert(g_[n1].end(), s.begin(), s.end());
}
if (son[1].size()) {
int n2 = NewNode(0);
g_[n1].emplace_back(n2);
g_[n2] = son[1];
}
if (son[2].size() >= 2) {
auto s = Split(son[2][1]);
std::reverse(s.begin(), s.end());
g_[n1].insert(g_[n1].end(), s.begin(), s.end());
}
}
}
void Remove(int u) { // remove the nodes with only one child
for (auto &&v : g_[u]) {
int tv = v;
while (g_[tv].size() == 1) {
int t = tv;
tv = g_[tv][0];
Delete(t);
}
v = tv, Remove(v);
}
}
void DfsAns(int u) {
if (u >= 1 && u <= n_) {
ans_.emplace_back(u);
return;
}
for (auto &&v : g_[u]) DfsAns(v);
}
} T;