docs/ds/persistent-balanced.md
OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习 无旋转 Treap．
对于非旋转 Treap，可通过 Merge 和 Split 操作过程中复制路径上经过的节点（一般在 Split 操作中复制，确保不影响以前的版本）就可完成可持久化．
对于旋转 Treap，在复制路径上经过的节点同时，还需复制受旋转影响的节点（若其已为这次操作中复制的节点，则无需再复制），对于一次旋转一般只影响两个节点，那么不会增加其时间复杂度．
上述方法一般被称为 path copying．
「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会，Newnode（新建节点）就是用来可持久化的工具．
我们来观察一下 Merge 和 Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！
因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化．
可持久化 是对 数据结构 的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本．
对于 可持久化线段树 来说，每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来
那么对可持久化 Treap（目前国内 OI 常用的版本）来说：
在复制一个节点 $X_{a}$（$X$ 节点的第 $a$ 个版本）的新版本 $X_{a+1}$（$X$ 节点的第 $a+1$ 个版本）以后：
需要的东西：
一个 struct 数组 存 每个节点 的信息（一般叫做 tree 数组）；（当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了）
一个 根节点数组，存每个版本的树根，每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始；
split() 分裂 从树中分裂出两棵树
merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并
newNode() 新建一个节点
build() 建树
对于 分裂操作，每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径，用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根．
split(x,k) 返回一个 std::pair;
表示把 $_x$ 为根的树的前 $k$ 个元素放在 一棵树 中，剩下的节点构成在另一棵树中，返回这两棵树的根（first 是第一棵树的根，second 是第二棵树的）．
static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
if (_x == 0)
return std::make_pair(0, 0);
else {
int _vs = ++_cnt; // 新建节点（可持久化的精髓）
_trp[_vs] = _trp[_x];
std::pair<int, int> _y;
if (_trp[_vs].key <= k) {
_y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
_trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
_y.first = _vs;
} else {
_y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
_trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
_y.second = _vs;
}
_trp[_vs]._update();
return _y;
}
}
merge(x,y) 返回 merge 出的树的根．
同样递归实现．如果 x 的随机权值>y 的随机权值，则 merge(x_{rc},y)，否则 merge(x,y_{lc})．
static int _merge(int _x, int _y) {
if (_x == 0 || _y == 0)
return _x ^ _y;
else {
if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
_trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
_trp[_x]._update();
return _x;
} else {
_trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
_trp[_y]._update();
return _y;
}
}
}
可持久化 WBLT 由 WBLT 改动而来，所以首先学习 WBLT．
使用 路径复制 的方法，将一次操作中 修改过 的节点复制下来，不能影响之前的节点．
为了处理懒标记，我们这样考虑：在一棵持久化的 WBLT 上，一个点可能有多个父亲，但是儿子数量只能是 $0$ 或 $2$ 个．pushdown 的下放懒标记的操作，只会影响它的儿子，我们对一个点进行 pushdown，是没有影响的；反而是它的儿子，它的儿子可能不止它一个父亲，将它的标记下放到儿子，可能导致在别的父亲的版本上，多了一个不属于那个版本的懒标记，这就错了；除非它的儿子只有它一个父亲．所以我们应该在 pushdown 的时候，复制一遍儿子，把懒标记打到新的儿子上．
在进行路径复制的时候，我们可以定义一个 refresh 函数，它接受一个节点 $p$ 的引用，表示把节点 $p$ 复制一下，产生一个新的节点，重新赋值给 $p$．使用 refresh 函数的原则是，如果它将要被修改，或者它拥有的儿子即将发生变动（而不是它的儿子的信息将要被修改），那么就 refresh 它，否则不需要．
对于静态的查询，除了 pushdown 之外都不用 refresh．如果保证什么操作都做路径复制，那么 pushdown 和 refresh 的顺序是无所谓的．
这里有一个优化．观察到 pushdown 的时候要复制两个节点，可以写标记永久化，但是刚才说了，如果它的儿子只有它一个父亲，可以不用复制．针对这一个性质，可以进行优化，以减少复制多余的节点．
考虑记录每个节点有多少个父亲（认为每个版本的根都有一个父亲），记为 $use$．每次 refresh 的时候，如果 $use\leq 1$ 则不需要重新复制节点，否则新建节点，并且 $use$ 自减 $1$，表示父亲带着这个儿子跑了，这样父亲就可以随意修改新的节点而不影响其它版本．另外每次复制节点的时候，如果节点有儿子，那么两个儿子的 $use$ 自增 $1$；合并两个子树时，返回的节点对两个儿子也有一个父亲的 $use$；删除节点时，两个子节点都丢失一个父亲：这样能优化一些时空．
??? note "完整代码（可持久化文艺平衡树）"
cpp --8<-- "docs/ds/code/persistent-balanced/persistent-wblt.cpp"
???+ note "洛谷 P3835【模版】可持久化平衡树" 你需要实现一个数据结构，要求提供如下操作（最开始时数据结构内无数据）：
1. 插入 $x$ 数；
2. 删除 $x$ 数（若有多个相同的数，应只删除一个，如果没有请忽略该操作）；
3. 查询 $x$ 数的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 + 1）；
4. 查询排名为 $x$ 的数；
5. 求 $x$ 的前驱（前驱定义为小于 $x$，且最大的数，如不存在输出 $-2\,147\,483\,647$）；
6. 求 $x$ 的后继（后继定义为大于 $x$，且最小的数，如不存在输出 $2\,147\,483\,647$）．
以上操作均基于某一个历史版本，同时生成一个新的版本（操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化）．而每个版本的编号则为操作的序号．特别地，最初的版本编号为 0．
就是 普通平衡树 一题的可持久化版，操作和该题类似．
只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作．