剑指 Offer 68 II. 二叉树的最近公共祖先 - Leetcode

解题思路：

祖先的定义： 若节点 $p$ 在节点 $root$ 的左（右）子树中，或 $p = root$ ，则称 $root$ 是 $p$ 的祖先。

最近公共祖先的定义： 设节点 $root$ 为节点 $p, q$ 的某公共祖先，若其左子节点 $root.left$ 和右子节点 $root.right$ 都不是 $p,q$ 的公共祖先，则称 $root$ 是 “最近的公共祖先” 。

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根据以上定义，若 $root$ 是 $p, q$ 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

$p$ 和 $q$ 在 $root$ 的子树中，且分列 $root$ 的异侧（即分别在左、右子树中）；
$p = root$ ，且 $q$ 在 $root$ 的左或右子树中；
$q = root$ ，且 $p$ 在 $root$ 的左或右子树中；

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考虑通过递归对二叉树进行先序遍历，当遇到节点 $p$ 或 $q$ 时返回。从底至顶回溯，当节点 $p, q$ 在节点 $root$ 的异侧时，节点 $root$ 即为最近公共祖先，则向上返回 $root$ 。

递归解析：

终止条件：
1. 当越过叶节点，则直接返回 $null$ ；
2. 当 $root$ 等于 $p, q$ ，则直接返回 $root$ ；
递推工作：
1. 开启递归左子节点，返回值记为 $left$ ；
2. 开启递归右子节点，返回值记为 $right$ ；
返回值： 根据 $left$ 和 $right$ ，可展开为四种情况；
1. 当 $left$ 和 $right$ 同时为空 ：说明 $root$ 的左 / 右子树中都不包含 $p,q$ ，返回 $null$ ；
2. 当 $left$ 和 $right$ 同时不为空 ：说明 $p, q$ 分列在 $root$ 的异侧（分别在左 / 右子树），因此 $root$ 为最近公共祖先，返回 $root$ ；
3. 当 $left$ 为空，$right$ 不为空 ：$p,q$ 都不在 $root$ 的左子树中，直接返回 $right$ 。具体可分为两种情况：
  1. $p,q$ 其中一个在 $root$ 的 右子树 中，此时 $right$ 指向 $p$（假设为 $p$ ）；
  2. $p,q$ 两节点都在 $root$ 的 右子树 中，此时的 $right$ 指向 最近公共祖先节点 ；
4. 当 $left$ 不为空 ， $right$ 为空：与情况 3. 同理；

观察发现，情况 1. 可合并至 3. 和 4. 内，详见文章末尾代码。

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复杂度分析：

时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N$ 为二叉树节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
空间复杂度 $O(N)$ ： 最差情况下，递归深度达到 $N$ ，系统使用 $O(N)$ 大小的额外空间。

代码：

Python

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode) -> TreeNode:
        if not root or root == p or root == q: return root
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        if not left: return right
        if not right: return left
        return root

Java

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null) return right;
        if(right == null) return left;
        return root;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == nullptr || root == p || root == q) return root;
        TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(left == nullptr) return right;
        if(right == nullptr) return left;
        return root;
    }
};

情况 1. , 2. , 3. , 4. 的展开写法如下。

Python

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode) -> TreeNode:
        if not root or root == p or root == q: return root
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        if not left and not right: return # 1.
        if not left: return right # 3.
        if not right: return left # 4.
        return root # 2. if left and right:

Java

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null && right == null) return null; // 1.
        if(left == null) return right; // 3.
        if(right == null) return left; // 4.
        return root; // 2. if(left != null and right != null)
    }
}

C++

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == nullptr || root == p || root == q) return root;
        TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(left == nullptr && right == nullptr) return nullptr; // 1.
        if(left == nullptr) return right; // 3.
        if(right == nullptr) return left; // 4.
        return root; // 2. if(left != null and right != null)
    }
};