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剑指 Offer 40. 最小的 K 个数

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方法一：排序

本题使用排序算法解决最直观，对数组 arr 执行排序，再返回前 $k$ 个元素即可。使用任意排序算法皆可，本文采用并介绍 快速排序 ，为下文 方法二 做铺垫。

快速排序原理：

快速排序算法有两个核心点，分别为 “哨兵划分” 和 “递归” 。

哨兵划分操作： 以数组某个元素（一般选取首元素）为 基准数 ，将所有小于基准数的元素移动至其左边，大于基准数的元素移动至其右边。

如下图所示，为哨兵划分操作流程。通过一轮 哨兵划分 ，可将数组排序问题拆分为 两个较短数组的排序问题 （本文称之为左（右）子数组）。

<,,,,,,,,>

递归： 对 左子数组 和 右子数组 递归执行 哨兵划分，直至子数组长度为 1 时终止递归，即可完成对整个数组的排序。

如下图所示，为示例数组 [2,4,1,0,3,5] 的快速排序流程。观察发现，快速排序和 二分法 的原理类似，都是以 $\log$ 时间复杂度实现搜索区间缩小。

{:width=550}

复杂度分析：

  • 时间复杂度 $O(N \log N)$ ： 库函数、快排等排序算法的平均时间复杂度为 $O(N \log N)$ 。
  • 空间复杂度 $O(N)$ ： 快速排序的递归深度最好（平均）为 $O(\log N)$ ，最差情况（即输入数组完全倒序）为 $O(N)$。

代码：

Python
class Solution:
    def getLeastNumbers(self, arr: List[int], k: int) -> List[int]:
        def quick_sort(arr, l, r):
            # 子数组长度为 1 时终止递归
            if l >= r: return
            # 哨兵划分操作（以 arr[l] 作为基准数）
            i, j = l, r
            while i < j:
                while i < j and arr[j] >= arr[l]: j -= 1
                while i < j and arr[i] <= arr[l]: i += 1
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
            arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l]
            # 递归左（右）子数组执行哨兵划分
            quick_sort(arr, l, i - 1)
            quick_sort(arr, i + 1, r)
        
        quick_sort(arr, 0, len(arr) - 1)
        return arr[:k]
Java
class Solution {
    public int[] getLeastNumbers(int[] arr, int k) {
        quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
        return Arrays.copyOf(arr, k);
    }
    private void quickSort(int[] arr, int l, int r) {
        // 子数组长度为 1 时终止递归
        if (l >= r) return;
        // 哨兵划分操作（以 arr[l] 作为基准数）
        int i = l, j = r;
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= arr[l]) j--;
            while (i < j && arr[i] <= arr[l]) i++;
            swap(arr, i, j);
        }
        swap(arr, i, l);
        // 递归左（右）子数组执行哨兵划分
        quickSort(arr, l, i - 1);
        quickSort(arr, i + 1, r);
    }
    private void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
        quickSort(arr, 0, arr.size() - 1);
        vector<int> res;
        res.assign(arr.begin(), arr.begin() + k);
        return res;
    }
private:
    void quickSort(vector<int>& arr, int l, int r) {
        // 子数组长度为 1 时终止递归
        if (l >= r) return;
        // 哨兵划分操作（以 arr[l] 作为基准数）
        int i = l, j = r;
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= arr[l]) j--;
            while (i < j && arr[i] <= arr[l]) i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
        swap(arr[i], arr[l]);
        // 递归左（右）子数组执行哨兵划分
        quickSort(arr, l, i - 1);
        quickSort(arr, i + 1, r);
    }
};

方法二： 基于快速排序的数组划分

题目只要求返回最小的 k 个数，对这 k 个数的顺序并没有要求。因此，只需要将数组划分为 最小的 $k$ 个数 和 其他数字 两部分即可，而快速排序的哨兵划分可完成此目标。

根据快速排序原理，如果某次哨兵划分后 基准数正好是第 $k+1$ 小的数字 ，那么此时基准数左边的所有数字便是题目所求的 最小的 k 个数 。

根据此思路，考虑在每次哨兵划分后，判断基准数在数组中的索引是否等于 $k$ ，若 $true$ 则直接返回此时数组的前 $k$ 个数字即可。

算法流程：

getLeastNumbers() 函数：

  1. 若 $k$ 大于数组长度，则直接返回整个数组；
  2. 执行并返回 quick_sort() 即可；

quick_sort() 函数：

注意，此时 quick_sort() 的功能不是排序整个数组，而是搜索并返回最小的 $k$ 个数。

  1. 哨兵划分：

    • 划分完毕后，基准数为 arr[i] ，左 / 右子数组区间分别为 $[l, i - 1]$ , $[i + 1, r]$ ；

  2. 递归或返回：

    • 若 $k < i$ ，代表第 $k + 1$ 小的数字在 左子数组 中，则递归左子数组；
    • 若 $k > i$ ，代表第 $k + 1$ 小的数字在 右子数组 中，则递归右子数组；
    • 若 $k = i$ ，代表此时 arr[k] 即为第 $k + 1$ 小的数字，则直接返回数组前 $k$ 个数字即可；

<,,,,,>

复杂度分析：

本方法优化时间复杂度的本质是通过判断舍去了不必要的递归（哨兵划分）。

  • 时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N$ 为数组元素数量；对于长度为 $N$ 的数组执行哨兵划分操作的时间复杂度为 $O(N)$ ；每轮哨兵划分后根据 $k$ 和 $i$ 的大小关系选择递归，由于 $i$ 分布的随机性，则向下递归子数组的平均长度为 $\frac{N}{2}$ ；因此平均情况下，哨兵划分操作一共有 $N + \frac{N}{2} + \frac{N}{4} + ... + \frac{N}{N} = \frac{N - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 2N - 1$ （等比数列求和），即总体时间复杂度为 $O(N)$ 。
  • 空间复杂度 $O(\log N)$ ： 划分函数的平均递归深度为 $O(\log N)$ 。

代码：

Python
class Solution:
    def getLeastNumbers(self, arr: List[int], k: int) -> List[int]:
        if k >= len(arr): return arr
        def quick_sort(l, r):
            i, j = l, r
            while i < j:
                while i < j and arr[j] >= arr[l]: j -= 1
                while i < j and arr[i] <= arr[l]: i += 1
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
            arr[l], arr[i] = arr[i], arr[l]
            if k < i: return quick_sort(l, i - 1) 
            if k > i: return quick_sort(i + 1, r)
            return arr[:k]
            
        return quick_sort(0, len(arr) - 1)
Java
class Solution {
    public int[] getLeastNumbers(int[] arr, int k) {
        if (k >= arr.length) return arr;
        return quickSort(arr, k, 0, arr.length - 1);
    }
    private int[] quickSort(int[] arr, int k, int l, int r) {
        int i = l, j = r;
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= arr[l]) j--;
            while (i < j && arr[i] <= arr[l]) i++;
            swap(arr, i, j);
        }
        swap(arr, i, l);
        if (i > k) return quickSort(arr, k, l, i - 1);
        if (i < k) return quickSort(arr, k, i + 1, r);
        return Arrays.copyOf(arr, k);
    }
    private void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    vector<int> getLeastNumbers(vector<int>& arr, int k) {
        if (k >= arr.size()) return arr;
        return quickSort(arr, k, 0, arr.size() - 1);
    }
private:
    vector<int> quickSort(vector<int>& arr, int k, int l, int r) {
        int i = l, j = r;
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= arr[l]) j--;
            while (i < j && arr[i] <= arr[l]) i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
        swap(arr[i], arr[l]);
        if (i > k) return quickSort(arr, k, l, i - 1);
        if (i < k) return quickSort(arr, k, i + 1, r);
        vector<int> res;
        res.assign(arr.begin(), arr.begin() + k);
        return res;
    }
};