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剑指 Offer 14 II. 剪绳子 II

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此题与 剑指 Offer 14- I. 剪绳子 主体等价，唯一不同在于本题目涉及 大数越界情况下的求余问题 。建议先做上一道题，在此基础上再研究此题目的大数求余方法。

解题思路：

  • 设将长度为 $n$ 的绳子切为 $a$ 段：

$$ n = n_1 + n_2 + ... + n_a $$

  • 本题等价于求解：

$$ \max(n_1 \times n_2 \times ... \times n_a) $$

以下数学推导总体分为两步：① 当所有绳段长度相等时，乘积最大。② 最优的绳段长度为 $3$ 。

数学推导：

  • 以下公式为“算术几何均值不等式” ，等号当且仅当 $n_1 = n_2 = ... = n_a$ 时成立。

$$ \frac{n_1 + n_2 + ... + n_a}{a} \geq \sqrt[a]{n_1 n_2 ... n_a} $$

推论一： 将绳子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大。

  • 设将绳子按照 $x$ 长度等分为 $a$ 段，即 $n = ax$ ，则乘积为 $x^a$ 。观察以下公式，由于 $n$ 为常数，因此当 $x^{\frac{1}{x}}$ 取最大值时， 乘积达到最大值。

$$ x^a = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^n $$

  • 根据分析，可将问题转化为求 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 的极大值，因此对 $x$ 求导数。

$$ \begin{aligned} \ln y & = \frac{1}{x} \ln x & \text{取对数} \ \frac{1}{y} \dot {y} & = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \ln x & \text{对 $x$ 求导} \ & = \frac{1 - \ln x}{x^2} \ \dot {y} & = \frac{1 - \ln x}{x^2} x^{\frac{1}{x}} & \text{整理得} \end{aligned} $$

  • 令 $\dot {y} = 0$ ，则 $1 - \ln x = 0$ ，易得驻点为 $x_0 = e \approx 2.7$ ；根据以下公式，可知 $x_0$ 为极大值点。

$$ \dot {y} \begin{cases}

0 & , x \in [- \infty, e) \ < 0 & , x \in (e, \infty] \ \end{cases} $$

  • 由于切分长度 $x$ 必须为整数，最接近 $e$ 的整数为 $2$ 或 $3$ 。如下式所示，代入 $x = 2$ 和 $x = 3$ ，得出 $x = 3$ 时，乘积达到最大。

$$ y(3) = 3^{1/3} \approx 1.44 \ y(2) = 2^{1/2} \approx 1.41 $$

  • 口算对比方法：给两数字同时取 $6$ 次方，再对比。

$$ [y(3)]^6 = (3^{1/3})^6 = 9 \ [y(2)]^6 = (2^{1/2})^6 = 8 $$

推论二： 尽可能将绳子以长度 $3$ 等分为多段时，乘积最大。

切分规则：

  1. 最优： $3$ 。把绳子尽可能切为多个长度为 $3$ 的片段，留下的最后一段绳子的长度可能为 $0,1,2$ 三种情况。
  2. 次优： $2$ 。若最后一段绳子长度为 $2$ ；则保留，不再拆为 $1+1$ 。
  3. 最差： $1$ 。若最后一段绳子长度为 $1$ ；则应把一份 $3 + 1$ 替换为 $2 + 2$，因为 $2 \times 2 > 3 \times 1$。

算法流程：

  1. 当 $n \leq 3$ 时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 $m>1$ 段，因此必须剪出一段长度为 $1$ 的绳子，即返回 $n - 1$ 。
  2. 当 $n>3$ 时，求 $n$ 除以 $3$ 的 整数部分 $a$ 和 余数部分 $b$ （即 $n = 3a + b$ ），并分为以下三种情况（设求余操作符号为 "$\odot$" ）：
    • 当 $b = 0$ 时，直接返回 $3^a \odot 1000000007$；
    • 当 $b = 1$ 时，要将一个 $1 + 3$ 转换为 $2+2$，因此返回 $(3^{a-1} \times 4)\odot 1000000007$；
    • 当 $b = 2$ 时，返回 $(3^a \times 2) \odot 1000000007$。

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大数求余解法：

大数越界： 当 $a$ 增大时，最后返回的 $3^a$ 大小以指数级别增长，可能超出 int32 甚至 int64 的取值范围，导致返回值错误。 大数求余问题： 在仅使用 int32 类型存储的前提下，正确计算 $x^a$ 对 $p$ 求余（即 $x^a \odot p$ ）的值。 解决方案： 循环求余 、 快速幂求余 ，其中后者的时间复杂度更低，两种方法均基于以下求余运算规则推出：

$$ (xy) \odot p = [(x \odot p)(y \odot p)] \odot p $$

1. 循环求余：

  • 根据求余运算性质推出（∵ 本题中 $x<p$，∴ $x \odot p = x$ ）：

$$ x^a \odot p = [(x ^{a-1} \odot p)(x \odot p)] \odot p=[(x ^{a-1} \odot p)x] \odot p $$

  • 解析： 利用此公式，可通过循环操作依次求 $x^1, x^2, ..., x^{a-1}, x^a$ 对 $p$ 的余数，保证每轮中间值 rem 都在 int32 取值范围中。封装方法代码如下所示。
  • 时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N=a$ ，即循环的线性复杂度。
Python
# 求 (x^a) % p —— 循环求余法
def remainder(x, a, p):
    rem = 1
    for _ in range(a):
        rem = (rem * x) % p
    return rem

2. 快速幂求余：

  • 根据求余运算性质可推出：

$$ x^a \odot p = (x^2)^{a/2} \odot p = (x^2 \odot p)^{a / 2} \odot p $$

  • 当 $a$ 为奇数时 $a/2$ 不是整数，因此分为以下两种情况（ ''$//$'' 代表向下取整的除法）：

$$ {x^a \odot p = } \begin{cases} (x^2 \odot p)^{a // 2} \odot p & \text{, $a$ 为偶数} \ {[(x \odot p)(x ^{a-1} \odot p)] \odot p = [x(x^2 \odot p)^{a//2}] \odot p} & \text{, $a$ 为奇数} \ \end{cases} $$

  • 解析： 利用以上公式，可通过循环操作每次把指数 $a$ 问题降低至指数 $a//2$ 问题，只需循环 $\log_2(N)$ 次，因此可将复杂度降低至对数级别。封装方法代码如下所示。
Python
# 求 (x^a) % p —— 快速幂求余
def remainder(x, a, p):
    rem = 1
    while a > 0:
        if a % 2: rem = (rem * x) % p
        x = x ** 2 % p
        a //= 2
    return rem
  • 帮助理解： 根据下表， 初始状态 $rem=1$, $x=3$, $a=19$, $p=1000000007$ ，最后会将 $rem \times (x^a \odot p)$ 化为 $rem \times (x^0 \odot p) = rem \times 1$ 的形式，即 $rem$ 为余数答案。
$n$$rem \times (x^a \odot p)$$rem_n=rem_{n-1} \times x_{n-1} \odot p$$x_n=x_{n-1}^2 \odot p$$a_n=a_{n-1}//2$
$1$$1 \times (3^{19} \odot p)$$1$$3$$19$
$2$$3 \times (9^{9} \odot p)$$3=1\times3\odot p$$9=3^2 \odot p$$9=19//2$
$3$$27 \times (81^{4} \odot p)$$27 = 3 \times 9 \odot p$$81=9^2\odot p$$4=9//2$
$4$$27 \times (6561^{2} \odot p)$$27$$6561=81^2 \odot p$$2=4//2$
$5$$27 \times (43046721^{1} \odot p)$$27$$43046721=6561^2 \odot p$$1=2//2$
$6$$162261460 \times (175880701^{0} \odot p)$$162261460=27 \times 43046721 \odot p$$175880701=43046721^2 \odot p$$0=1//2$

复杂度分析：

以下为 二分求余法 的复杂度。

  • 时间复杂度 $O(\log_2 N)$ ： 其中 $N=a$ ，二分法为对数级别复杂度，每轮仅有求整、求余、次方运算。
    • 求整和求余运算：资料提到不超过机器数的整数可以看作是 $O(1)$ ；
    • 幂运算：查阅资料，提到浮点取幂为 $O(1)$ 。
  • 空间复杂度 $O(1)$ ： 变量 a, b, p, x, rem 使用常数大小额外空间。

代码：

Python 代码： 由于语言特性，理论上 Python 中的变量取值范围由系统内存大小决定（无限大），因此在 Python 中其实不用考虑大数越界问题。 Java/C++ 代码： 根据二分法计算原理，至少要保证变量 x 和 rem 可以正确存储 $1000000007^2$ ，而 $2^{64} > 1000000007^2 > 2^{32}$ ，因此我们选取 long 类型。

Python
class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n <= 3: return n - 1
        a, b, p, x, rem = n // 3 - 1, n % 3, 1000000007, 3 , 1
        while a > 0:
            if a % 2: rem = (rem * x) % p
            x = x ** 2 % p
            a //= 2
        if b == 0: return (rem * 3) % p # = 3^(a+1) % p
        if b == 1: return (rem * 4) % p # = 3^a * 4 % p
        return (rem * 6) % p # = 3^(a+1) * 2  % p
Java
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int b = n % 3, p = 1000000007;
        long rem = 1, x = 3;
        for(int a = n / 3 - 1; a > 0; a /= 2) {
            if(a % 2 == 1) rem = (rem * x) % p;
            x = (x * x) % p;
        }
        if(b == 0) return (int)(rem * 3 % p);
        if(b == 1) return (int)(rem * 4 % p);
        return (int)(rem * 6 % p);
    }
}
C++
class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int b = n % 3, p = 1000000007;
        long rem = 1, x = 3;
        for(int a = n / 3 - 1; a > 0; a /= 2) {
            if(a % 2 == 1) rem = (rem * x) % p;
            x = (x * x) % p;
        }
        if(b == 0) return (int)(rem * 3 % p);
        if(b == 1) return (int)(rem * 4 % p);
        return (int)(rem * 6 % p);
    }
};
Python
# 由于语言特性，Python 可以不考虑大数越界问题
class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n <= 3: return n - 1
        a, b, p = n // 3, n % 3, 1000000007
        if b == 0: return 3 ** a % p
        if b == 1: return 3 ** (a - 1) * 4 % p
        return 3 ** a * 2 % p