剑指 Offer 14 I. 剪绳子

解题思路：

• 设将长度为 $n$ 的绳子切为 $a$ 段：

$$ n = n_1 + n_2 + ... + n_a $$

• 本题等价于求解：

$$ \max(n_1 \times n_2 \times ... \times n_a) $$

以下数学推导总体分为两步：① 当所有绳段长度相等时，乘积最大。② 最优的绳段长度为 $3$ 。

数学推导：

• 以下公式为“算术几何均值不等式” ，等号当且仅当 $n_1 = n_2 = ... = n_a$ 时成立。

$$ \frac{n_1 + n_2 + ... + n_a}{a} \geq \sqrt[a]{n_1 n_2 ... n_a} $$

推论一： 将绳子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大。

• 设将绳子按照 $x$ 长度等分为 $a$ 段，即 $n = ax$ ，则乘积为 $x^a$ 。观察以下公式，由于 $n$ 为常数，因此当 $x^{\frac{1}{x}}$ 取最大值时， 乘积达到最大值。

$$ x^a = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^n $$

• 根据分析，可将问题转化为求 $y = x^{\frac{1}{x}}$ 的极大值，因此对 $x$ 求导数。

$$ \begin{aligned} \ln y & = \frac{1}{x} \ln x & \text{取对数} \ \frac{1}{y} \dot {y} & = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \ln x & \text{对 $x$ 求导} \ & = \frac{1 - \ln x}{x^2} \ \dot {y} & = \frac{1 - \ln x}{x^2} x^{\frac{1}{x}} & \text{整理得} \end{aligned} $$

• 令 $\dot {y} = 0$ ，则 $1 - \ln x = 0$ ，易得驻点为 $x_0 = e \approx 2.7$ ；根据以下公式，可知 $x_0$ 为极大值点。

$$ \dot {y} \begin{cases}

0 & , x \in [- \infty, e) \ < 0 & , x \in (e, \infty] \ \end{cases} $$

• 由于切分长度 $x$ 必须为整数，最接近 $e$ 的整数为 $2$ 或 $3$ 。如下式所示，代入 $x = 2$ 和 $x = 3$ ，得出 $x = 3$ 时，乘积达到最大。

$$ y(3) = 3^{1/3} \approx 1.44 \ y(2) = 2^{1/2} \approx 1.41 $$

• 口算对比方法：给两数字同时取 $6$ 次方，再对比。

$$ [y(3)]^6 = (3^{1/3})^6 = 9 \ [y(2)]^6 = (2^{1/2})^6 = 8 $$

推论二： 尽可能将绳子以长度 $3$ 等分为多段时，乘积最大。

切分规则：

1. 最优： $3$ 。把绳子尽可能切为多个长度为 $3$ 的片段，留下的最后一段绳子的长度可能为 $0,1,2$ 三种情况。
2. 次优： $2$ 。若最后一段绳子长度为 $2$ ；则保留，不再拆为 $1+1$ 。
3. 最差： $1$ 。若最后一段绳子长度为 $1$ ；则应把一份 $3 + 1$ 替换为 $2 + 2$，因为 $2 \times 2 > 3 \times 1$。

算法流程：

1. 当 $n \leq 3$ 时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 $m>1$ 段，因此必须剪出一段长度为 $1$ 的绳子，即返回 $n - 1$ 。
2. 当 $n>3$ 时，求 $n$ 除以 $3$ 的 整数部分 $a$ 和 余数部分 $b$ （即 $n = 3a + b$ ），并分为以下三种情况：
   • 当 $b = 0$ 时，直接返回 $3^a$；
   • 当 $b = 1$ 时，要将一个 $1 + 3$ 转换为 $2+2$，因此返回 $3^{a-1} \times 4$；
   • 当 $b = 2$ 时，返回 $3^a \times 2$。

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复杂度分析：

• 时间复杂度 $O(1)$ ： 仅有求整、求余、次方运算。
  • 求整和求余运算：资料提到不超过机器数的整数可以看作是 $O(1)$ ；
  • 幂运算：查阅资料，提到浮点取幂为 $O(1)$ 。
• 空间复杂度 $O(1)$ ： 变量 a 和 b 使用常数大小额外空间。

代码：

Python 中常见有三种幂计算函数： * 和 pow() 的时间复杂度均为 $O(\log a)$ ；而 math.pow() 始终调用 C 库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 $O(1)$ 。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n <= 3: return n - 1
        a, b = n // 3, n % 3
        if b == 0: return int(math.pow(3, a))
        if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
        return int(math.pow(3, a) * 2)

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if(b == 0) return pow(3, a);
        if(b == 1) return pow(3, a - 1) * 4;
        return pow(3, a) * 2;
    }
};

数学推导需要一定的知识基础。下面分享一种基于贪心算法的思路，个人认为适合于时间有限情况下的快速解题。

贪心算法思路：

设一绳子长度为 $n$ ( $n>1$ )，则其必可被切分为两段 $n=n_1+n_2$ 。 根据经验推测，切分的两数字乘积往往原数字更大，即往往有 $n_1 \times n_2 > n_1 + n_2 = n$ 。

• 例如绳子长度为 $6$ ： $6 = 3 + 3 < 3 \times 3 = 9$ ；
• 也有少数反例，例如 $2$ ： $2 = 1 + 1 > 1 \times 1 = 1$ 。

• 推论一： 合理的切分方案可以带来更大的乘积。

设一绳子长度为 $n$ ( $n>1$ )，切分为两段 $n=n_1+n_2$ ，切分为三段 $n=n_1+n_2+n_3$ 。 根据经验推测，三段 的乘积往往更大，即往往有 $n_1 n_2 n_3 > n_1 n_2$ 。

• 例如绳子长度为 $9$ ： 两段 $9=4+5$ 和 三段 $9=3+3+3$，则有 $4 \times 5 < 3 \times 3 \times 3$ 。
• 也有少数反例，例如 $6$ ： 两段 $6=3+3$ 和 三段 $6=2+2+2$，则有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。

• 推论二： 若切分方案合理，绳子段切分的越多，乘积越大。

总体上看，貌似长绳子切分为越多段乘积越大，但其实到某个长度分界点后，乘积到达最大值，就不应再切分了。 问题转化： 是否有优先级最高的长度 $x$ 存在？若有，则应该尽可能把绳子以 $x$ 长度切为多段，以获取最大乘积。

• 推论三： 为使乘积最大，只有长度为 $2$ 和 $3$ 的绳子不应再切分，且 $3$ 比 $2$ 更优 （详情见下表） 。