287. Find the Duplicate Number

题目

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Example 1:

Input: [1,3,4,2,2]
Output: 2

Example 2:

Input: [3,1,3,4,2]
Output: 3

Note:

• You must not modify the array (assume the array is read only).
• You must use only constant, O(1) extra space.
• Your runtime complexity should be less than O(n^2).
• There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

题目大意

给出 n + 1 个数，这些数是在 1-n 中取值的，同一个数字可以出现多次。要求找出这些数中重复的数字。时间复杂度最好低于 O(n^2)，空间复杂度为 O(1)。

解题思路

• 这道题比较巧的思路是，将这些数字想象成链表中的结点，数组中数字代表下一个结点的数组下标。找重复的数字就是找链表中成环的那个点。由于题目保证了一定会有重复的数字，所以一定会成环。所以用快慢指针的方法，快指针一次走 2 步，慢指针一次走 1 步，相交以后，快指针从头开始，每次走一步，再次遇见的时候就是成环的交点处，也即是重复数字所在的地方。
• 这一题有多种做法。可以用快慢指针求解。还可以用二分搜索：(这里的题解感谢 @imageslr 指出错误）：
  1. 假设有 n+1 个数，则可能重复的数位于区间 [1, n] 中。记该区间最小值、最大值和中间值为 low、high、mid
  2. 遍历整个数组，统计小于等于 mid 的整数的个数，至多为 mid 个
  3. 如果超过 mid 个就说明重复的数存在于区间 [low,mid] （闭区间）中；否则，重复的数存在于区间 (mid, high] （左开右闭）中
  4. 缩小区间，继续重复步骤 2、3，直到区间变成 1 个整数，即 low == high
  5. 整数 low 就是要找的重复的数
• 另外一个做法是，先将数组排序，依照下标是从 0 开始递增的特性，那么数组里面的数字与下标的差值应该是越来越大。如果出现了相同的数字，下标变大，差值应该比前一个数字小，出现了这个情况就说明找到了相同数字了。