33 - Hello Algorithm

子集（78）

date: 2020-07-12

今天是小浩算法 “365刷题计划” 第105天。这是昨天一个同学面试快手被问到的算法题，很不幸的是他被挂掉了。征得对方同意后，拿出来分享给大家~

<center>（如果要进入算法交流群的，扫描二维码就可以了）</center>

01、题目示例

子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

第48题：子集
给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明： 解集不能包含重复的子集

示例:

输入: nums = [1,2,3] 

输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

题目本身没有太多需要补充的，初中数学知识：

02、题解分析(高级)

上一个很厉害的题解。

首先我们可以证明一下 N 个元素的子集个数有 2^N 个：

可以类比为 N 个不同的小球，一次拿出若干个小球（可以不拿），对于每一个球都可以选择拿或者不拿，共有 N 个球，总共判断 N 次，产生了 2^N 个子集。比如：123，共有下面 8 个子集：

然后考虑解题思路，暂且不谈回溯，我们其实可以用二进制来模拟每个元素是否选中的状态。 又因为我们已知了对于 N 个元素共有 2^N 个子集，所以我们直接遍历 2^N 个元素。

java

class Solution { 
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) { 
        //存放所有子集 
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); 
        //子集总数共有 2^N 个 
        int length = 1 << nums.length; 
        //遍历所有的子集 
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            List<Integer> sub = new ArrayList<>();
            //TODO ： 找到对应的子集元素
        }
        return res;
    }
}

但是我们并不知道具体的子集元素。那如何找到对应的子集元素呢？对于 2^N 个 N 位的二进制数，我们可以通过从后往前的第 j 个二进制位的 0 和 1 来表示是否放入子集集合。

java

for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
    if (((i >> j) & 1) == 1) sub.add(nums[j]);
}

综合一下代码：

java

class Solution { 
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) { 
        //存放所有子集 
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); 
        //子集总数公有 2^N 个 
        int length = 1 << nums.length; 
        //遍历所有的子集 
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            List<Integer> sub = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (((i >> j) & 1) == 1) sub.add(nums[j]);
            }
            res.add(sub);
        }
        return res;
    }
}

为帮助大家理解，假设 nums 为 [1,2,3]，res 的存储过程为：

大家可以仔细体会一下这个题解。

03、题解分析（普通）

当然，上面的题解并不是凡人可以直接想到的。所以我们这里还是给出一种更为通用的题解~

集合中所有元素的选/不选，其实构成了一个满二叉树。左子树选，右子树不选。自然，那从根节点到所有叶子节点的路径，就构成了所有的子集。

那这种解法其实就好理解很多了：

java

class Solution { 
    
    List<List<Integer>> res; 
    
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) { 
        res = new ArrayList<>(); 
        List<Integer> list = new ArrayList<>(); 
        dfs(nums, 0, list);
        return res;10    }
    
    private void dfs(int[] nums, int start, List<Integer> list) {
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            list.add(nums[i]);
            dfs(nums, i + 1, list);
            list.remove(list.size() - 1);
        }
        res.add(new ArrayList<>(list));
    }
    
}

总之，这道题目其实还是有一定难度的，难点主要包括：

数学知识的混淆，忘记考虑空集等情况。
和全排列问题混淆，把 2^N 当做 N！处理。
递归与回溯细节掌握不扎实。

但并不是不可以攻克，建议大家下去自行练习一番~

加油，奥利给！