二元搜尋樹

如下圖所示，<u>二元搜尋樹（binary search tree）</u>滿足以下條件。

二元搜尋樹的操作

我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 BinarySearchTree ，並宣告一個成員變數 root ，指向樹的根節點。

給定目標節點值 num ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如下圖所示，我們宣告一個節點 cur ，從二元樹的根節點 root 出發，迴圈比較節點值 cur.val 和 num 之間的大小關係。

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二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：

src

[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}

給定一個待插入元素 num ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如下圖所示。

在程式碼實現中，需要注意以下兩點。

src

[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{insert}

與查詢節點相同，插入節點使用 $O(\log n)$ 時間。

先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。

如下圖所示，當待刪除節點的度為 $0$ 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。

如下圖所示，當待刪除節點的度為 $1$ 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。

當待刪除節點的度為 $2$ 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 $<$ 根節點 $<$ 右子樹”的性質，因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點。

假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如下圖所示。

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刪除節點操作同樣使用 $O(\log n)$ 時間，其中查詢待刪除節點需要 $O(\log n)$ 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：

src

[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}

如下圖所示，二元樹的中序走訪遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 $<$ 根節點 $<$ 右子節點”的大小關係。

這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的。

利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 $O(n)$ 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。

給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察下表，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。

<p align="center"> 表 <id>   陣列與搜尋樹的效率對比 </p>

在理想情況下，二元搜尋樹是“平衡”的，這樣就可以在 $\log n$ 輪迴圈內查詢任意節點。

然而，如果我們在二元搜尋樹中不斷地插入和刪除節點，可能導致二元樹退化為下圖所示的鏈結串列，這時各種操作的時間複雜度也會退化為 $O(n)$ 。