小结

重点回顾

• 动态规划对问题进行分解，并通过存储子问题的解来规避重复计算，提高计算效率。
• 不考虑时间的前提下，所有动态规划问题都可以用回溯（暴力搜索）进行求解，但递归树中存在大量的重叠子问题，效率极低。通过引入记忆化列表，可以存储所有计算过的子问题的解，从而保证重叠子问题只被计算一次。
• 记忆化搜索是一种从顶至底的递归式解法，而与之对应的动态规划是一种从底至顶的递推式解法，其如同“填写表格”一样。由于当前状态仅依赖某些局部状态，因此我们可以消除 $dp$ 表的一个维度，从而降低空间复杂度。
• 子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中具有不同的性质。
• 动态规划问题有三大特性：重叠子问题、最优子结构、无后效性。
• 如果原问题的最优解可以从子问题的最优解构建得来，则它就具有最优子结构。
• 无后效性指对于一个状态，其未来发展只与该状态有关，而与过去经历的所有状态无关。许多组合优化问题不具有无后效性，无法使用动态规划快速求解。

背包问题

• 背包问题是最典型的动态规划问题之一，具有 0-1 背包、完全背包、多重背包等变种。
• 0-1 背包的状态定义为前 $i$ 个物品在容量为 $c$ 的背包中的最大价值。根据不放入背包和放入背包两种决策，可得到最优子结构，并构建出状态转移方程。在空间优化中，由于每个状态依赖正上方和左上方的状态，因此需要倒序遍历列表，避免左上方状态被覆盖。
• 完全背包问题的每种物品的选取数量无限制，因此选择放入物品的状态转移与 0-1 背包问题不同。由于状态依赖正上方和正左方的状态，因此在空间优化中应当正序遍历。
• 零钱兑换问题是完全背包问题的一个变种。它从求“最大”价值变为求“最小”硬币数量，因此状态转移方程中的 $\max()$ 应改为 $\min()$ 。从追求“不超过”背包容量到追求“恰好”凑出目标金额，因此使用 $amt + 1$ 来表示“无法凑出目标金额”的无效解。
• 零钱兑换问题 II 从求“最少硬币数量”改为求“硬币组合数量”，状态转移方程相应地从 $\min()$ 改为求和运算符。

编辑距离问题

• 编辑距离（Levenshtein 距离）用于衡量两个字符串之间的相似度，其定义为从一个字符串到另一个字符串的最少编辑步数，编辑操作包括添加、删除、替换。
• 编辑距离问题的状态定义为将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数。当 $s[i] \ne t[j]$ 时，具有三种决策：添加、删除、替换，它们都有相应的剩余子问题。据此便可以找出最优子结构与构建状态转移方程。而当 $s[i] = t[j]$ 时，无须编辑当前字符。
• 在编辑距离中，状态依赖其正上方、正左方、左上方的状态，因此空间优化后正序或倒序遍历都无法正确地进行状态转移。为此，我们利用一个变量暂存左上方状态，从而转化到与完全背包问题等价的情况，可以在空间优化后进行正序遍历。